合肥工业大学：《大学物理》课程教学资源（教案讲义）第三篇 电磁学（电场和磁场）3.5 电磁感应

第十三章电磁感应 §13-1电磁感应的基本定律 一、电磁感应现象 当穿过一个闭合导体回路所包围的面积内的磁通量发生变化时，在导体回路中就会 产生电流，这种现象称为电磁感应现象(1831年)。 二、楞次定律(1833年) (纯电阻)闭合回路中产生的感应电流具有确定的方向，它总是使感应电流所产生 的通过回路面积的磁通量，去补偿或反抗引起感应电流的磁通量的变化。 或：感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。 这里：“效果”可以理解为感应电流激发的磁场，也可以理解为因感应电流出现而引起 的机械作用。“原因”既可以指磁通量的变化，也可指引起磁通量变化的相对运动或回 路的形变。 ▲实质：感应电流取楞次定律所述的方向，是能量守恒和转化定律的必然结果。 例题：楞次定律是能量守恒所必需的。换句话说，如果电磁感应的规律正好与楞次定律 相反，则能量守恒定律不成立。试用简单例子加以说明。 三、法拉第电磁感应定律 导体回路中感应电动势￡，的大小与穿过回路的磁通量的变化率心成正比。 d dt 或e=-K dt 对于国际单位制： K=1 dΦ 8,=- (适用于单匝导线组成的回路)

第十三章 电磁感应 §13-1 电磁感应的基本定律 一、电磁感应现象 当穿过一个闭合导体回路所包围的面积内的磁通量发生变化时，在导体回路中就会 产生电流，这种现象称为电磁感应现象（1831 年）。 二、楞次定律（1833 年） （纯电阻）闭合回路中产生的感应电流具有确定的方向，它总是使感应电流所产生 的通过回路面积的磁通量，去补偿或反抗引起感应电流的磁通量的变化。 或：感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。 这里：“效果”可以理解为感应电流激发的磁场，也可以理解为因感应电流出现而引起 的机械作用。“原因”既可以指磁通量的变化，也可指引起磁通量变化的相对运动或回 路的形变。 ▲ 实质：感应电流取楞次定律所述的方向，是能量守恒和转化定律的必然结果。 例题：楞次定律是能量守恒所必需的。换句话说，如果电磁感应的规律正好与楞次定律 相反，则能量守恒定律不成立。试用简单例子加以说明。 三、法拉第电磁感应定律 导体回路中感应电动势 i  的大小与穿过回路的磁通量的变化率 d dt  成正比。 i dΦ ε dt  或 i dΦ ε dt = −K 对于国际单位制： K=1 i dΦ ε dt = − （适用于单匝导线组成的回路）

对于多匝线圈串联，每匝的磁通分别为中，中2，“，中 dt dt dt =-m+0,+.0,) 平=④，+中，++Φ、叫做磁通匝链数或全磁通。 若中，相同，均为中，则平=N中 dt ▲感应电动势的方向问题： 规定： 【,回路的正方向→确定ε的正负 2、曲面法线的正方向→确定Φ的正方向方可满足法拉第定律 3、与的关系满足右手法则 如果闭合电路的电阻为R, 当1=1o,中=中；1=4，Φ=中，通过回路中任一截面的感应电量（迁移的电量） ★q=1h=-元=最o。-o,） 例题： 如图，环形螺线管n=5000匝/米， 安=-20安培秒，截面S=2x10米，在环上 再绕一线圈A,N=5匝，R=2.0欧姆 求：1、A中6，及1， 2、2秒内通过A的电量q 解：环内的B≈4l,通过A的D=S

对于多匝线圈串联，每匝的磁通分别为 1 2 , , ,   N 1 2 N i d d d dt dt dt     = − − − − 1 2 ( ) N d dt d dt = −  +  +   = −  =  +  + +  1 2 N 叫做磁通匝链数或全磁通。 若 i 相同，均为  ，则  = N ， i d dΦ ε dt dt N  = − = − ▲ 感应电动势的方向问题： 规定： 方可满足法拉第定律 与 的关系满足右手法则 曲面法线 的正方向 确定 的正方向 回路      →  → 3、 L n 2、 n 1 的正方向 确定 的正负     、 L  如果闭合电路的电阻为 R， 1 i d I R dt  = − 当 0 0 1 1 t t t t =  =  =  =  , ; , ，通过回路中任一截面的感应电量（迁移的电量） ★ 1 1 0 0 0 1 1 1 ( ) t i t q I dt d R R   = = −  =  −    例题： 如 图 ， 环 形 螺 线 管 n=5000 匝 / 米 ， 20 / dI dt = − 安培 秒 ，截面 3 2 S 2 10− =  米 。在环上 再绕一线圈 A，N=5 匝， R=2.0 欧姆 求：1、A 中 i  及 i I 2、2 秒内通过 A 的电量 q 解：环内的 B nI  0 ，通过 A 的 0  =  nIS

5-小水盟4s图-126r伏特 1=126×10=6.30×10安培 2 9=∫1，dh=6.30x10×2.0=126x103库仑 §13-2在磁场中运动的导线内感应电动势（动性电动势） 一、动生电动势 D=B.S=BII' 59品)=m →8，=Bw方向可由楞次定律得 到（从b指向a) 二、对动生电动势的解释 由金属电子理论： ∫F.=9×B=-ep×B F,=gE=-eE [F.=evB→向下 E=eE→向上 当eE=eBE=B,这时，。-y=El,即因 洛仑兹力作用的结果 6,=E=B与前面结果完全一致。 ▲以上说法与洛仑兹力不作功是否相矛盾呢？不矛盾。以下说明： 总洛仑兹力为：F=-(位+)×B,它与合成速度下+n垂直，不做功 然而分力，于=-（下×B)对电子做正功，形成动生电动势。而另一分力，F=-(下+）×B, 它沿-下方向，做负功。可以证明两功代数和为零，证明如下： F(下+)=0总功率为零

3 0 1.26 10 i d dI N nNS dt dt    − = = =  伏特 3 1.26 10 4 6.30 10 2 i I −  − = =  安培 2 1 4 3 6.30 10 2.0 1.26 10 t i t q I dt − − = =   =   库仑 §13-2 在磁场中运动的导线内感应电动势（动生电动势） 一、动生电动势  =  = B S Bll dl v dt  = ( ) i d d dl Bll Bl dt dt dt    = = =   =  i Blv 方向可由楞次定律得 到（从 b 指向 a） 二、对动生电动势的解释 由金属电子理论： m e F qv B ev B F qE eE  =  = −    = = − m e F evB F eE  = →   = → 向下 向上 当 eE evB E vB = = , ，这时， a b v v El − = ，即因 洛仑兹力作用的结果  i = = El lvB 与前面结果完全一致。 ▲ 以上说法与洛仑兹力不作功是否相矛盾呢？不矛盾。以下说明： 总洛仑兹力为： F e v u B = − +  ( ) ，它与合成速度 v u + 垂直，不做功。 然而分力， f e v B = −  ( ) 对电子做正功，形成动生电动势。而另一分力， F e v u B = − +  ( ) ， 它沿 −v 方向，做负功。可以证明两功代数和为零，证明如下： F v u  + = ( ) 0 总功率为零

F=了+ 代入上式并展开，子下+子+子+子.=0 因为子下=0，”.i=0 fn+了p=0或fi=-立 因此，洛仑兹力作用并不提供能量，而只是传递能量。 补充：导体在恒定磁场中运动时，动生电动势： ab=[(xB).dl 6>0,则。4。 或s=∮，(×B)dl 例题：已知铜棒长L,在匀强磁场B中沿逆 时针方向绕轴以角速度旋转 1、 求铜棒中感生电动势的大小和方向 2、若是半径为L的铜盘绕圆心旋转，求中 心与边缘之间的电势差 解：1、在距0为1处取dl小段，速度v=ol ds,=-Bvdl=-Boldl (下×B)方向为从A->0 各小段的ds,的指向都是一样的， ∴e=-Bol=-BaL 5,的指向是从A到0的 :.Uo-U=BoL 另解：计算铜棒在单位时间所切割的磁感应线数来计算动生电动势 设△r内转过△0角度， AΦ=B.1L-LA8=1B 2、若是铜盘，可以看成是无数根并联的铜棒组成，结果同上。 例题：[程守诛普通物理学第四版p220.14 31如图， 1 )质量为M,长度为1的金属 棒b从静止开始沿倾斜的绝缘框架下滑，设磁场B竖直向上，求棒内的动生时势与时 间的函数关系，忽略摩擦。(2)如果金属棒b是沿光滑的金属框架下滑，结果有何不

F f f = +  代入上式并展开， f v f u f v f u  +  +  +  =   0 因为 f v f u  =  = 0, 0  f u f v  +  =  0 或 f u f v  = −   因此，洛仑兹力作用并不提供能量，而只是传递能量。 补充：导体在恒定磁场中运动时，动生电动势： ( ) b ab a  =   v B dl  0, ab b    u 则ua ； 0, ab b    u 则ua 或 ( ) L  =   v B dl  例题：已知铜棒长 L，在匀强磁场 B  中沿逆 时针方向绕轴以角速度  旋转。 1、求铜棒中感生电动势的大小和方向 2、若是半径为 L 的铜盘绕圆心旋转，求中 心与边缘之间的电势差 解：1、在距 O 为 l 处取 dl 小段，速度 v =l ， d Bvdl B ldl  i = − = −  ， (v B)    方向为从 A->O 各小段的 d i  的指向都是一样的， 2 0 2 1 B ldl B L l  i = −  = −   i  的指向是从 A 到 O 的 2 2 1 UO −U A = BL 另解：计算铜棒在单位时间所切割的磁感应线数来计算动生电动势。 设 t 内转过  角度， 2 2 1 2 1  = B  L  L = BL 2、若是铜盘，可以看成是无数根并联的铜棒组成，结果同上。 例题：[程守洙 普通物理学第四版 p220.14-13]如图，（1）质量为 M，长度为 l 的金属 棒 ab 从静止开始沿倾斜的绝缘框架下滑，设磁场 B 竖直向上，求棒内的动生时势与时 间的函数关系，忽略摩擦。（2）如果金属棒 ab 是沿光滑的金属框架下滑，结果有何不

同？ 解：(1)下滑a=gsin0,经过时间t,v=at=gtsin0 Bcosrn (2)设速度为v, 则有G,=B弥cos8,且 -是-卧9，（方向沿b) R 安培力：FB即，水平向右 在斜面上投影为： B c0s0 cos 0 R 下滑力： f:=Mgsin 0 所以，运动方程为 M密峻s如0圆阳， R -(v gMRsin MR MR (Bl cos0) (c 小 R v=肠+ke片，(k=nk) 当t=0,=0,→k=-,→v=w1-e%) 即 MgRsin 0 v=(Bicos0) 1-e R 时论：1、当，由上式一匀下滑，另一方，下滑力等于装力

同？ 解：（1）下滑 a = g sin  ，经过时间 t， v = at = gtsin  ， B lv B gt l B t i = = =   ⊥   lg sin 2 2 1 cos sin （2）设速度为 v, 则有  i = Blv cos ，且 R Blv R I i i  cos = = ，（方向沿 badcb） 安培力： FmBlIi ， 水平向右 在 斜 面 上 投 影 为 ： v R B l F BlI m i   2 2 2 cos  = cos = 下滑力： f下 = Mg sin  所以，运动方程为 v R Bl Mg dt dv M 2 ( sin ) sin  =  − ) ( cos ) sin ( ( sin ) ( sin ) sin 2 2 2      Bl gMR v MR Bl v MR Bl g dt dv = − = − − dt MR Bl Bl gMR v dv 2 2 ( cos ) ( cos ) sin    = − −  k t dt v v v v dv = −  − = − + −    ln( ) 1 0 0 即  t v v k e − = 0 + 1 ， （ 1 k = ln k ） 当 t=0,v=0, 1 0  k = −v ， (1 ) 0  t v v e −  = − 即         = − − t MR Bl e Bl MgR v 2 ( cos ) 2 1 ( cos ) sin    讨论：1、当 t → ，由上式， max 2 ( cos ) sin   Bl MgR v = 匀速下滑，另一方面，下滑力等于磁力

在斜面上的分力： 即 R 2、达到v以后，势能的减小等于焦耳热 R (BI cos0)2 AE,-Mgh=Mgs.sin 0-Mgvisin0-M'g'Rsn (BI cos0)2 例题：[程守诛普通物理学第五版，p339,13-4]如图，已知1,1，aV,求：金属棒AB 中的动生电动势。 解：同上 B=会 6-编 告r 6的指向是从B到A,也就是A点的电势比B点高，即 d u-w,=会 例题：两个共轴圆线圈，半径分别为R及r(r很小，可认 为小线圈所在的磁场为均匀的)，匝数分别为N,和N,大线圈中通有电流1，求当小线 圈沿轴线方向以速度ⅴ运动（两线圈平面保持平行），两者相距为x时，小线圈中心电 动势大小。 秀 B=色RN 2(R2+x33 中=NNmR1 2(R2+x2)3 2 d(R2+x2)

在斜面上的分力。 即 max 2 ( cos ) sin v R Bl Mg Fm =  =    ， max 2 max ( cos ) sin v Bl MgR  v  = =   2、达到 max v 以后，势能的减小等于焦耳热      2 2 2 2 2 2 ( cos ) ( cos ) sin Bl M g R t R Blv t R Q i = = = t Bl M g R E Mgh Mgs Mgvt p 2 2 2 2 ( cos ) sin sin sin    = =   =  = 例题：[程守洙 普通物理学第五版，p339,13-4]如图，已知 I，l,a v,求：金属棒 AB 中的动生电动势。 解：同上 x I B   2 0 = ， vdv x I d Bvdx i    2 = = vdx x I d a l a i  i  + = =     2 0 ln( ) 2 0 a a l v I + =   i  的指向是从 B 到 A，也就是 A 点的电势比 B 点高，即 ln( ) 2 0 a a l v I UA UB + − =   例题：两个共轴圆线圈，半径分别为 R 及 r（r 很小，可认 为小线圈所在的磁场为均匀的），匝数分别为 N1 和 N2 ，大线圈中通有电流 I，求当小线 圈沿轴线方向以速度 v 运动（两线圈平面保持平行），两者相距为 x 时，小线圈中心电 动势大小。 解： 2 3 2 2 1 2 0 ( ) 2 R x R IN B + =  2 3 2 2 2 2 0 1 2 ( ) 2 R x N N r R I + =            + = − = − 2 3 2 2 2 2 0 1 2 ( ) 1 2 R x dt d R I N N r dt d   

e 2 =3π4NN,r2R21xw (R+x2)3 方向不宜判断 §13-4惑生电动势涡旋电场涡旋电流 一、涡旋电场 动生电动势的非静电力是洛仑兹力，那么磁场变化产生的感生电动势，其非静电力 是什么呢？麦克斯韦认为：即使不存在导体回路，变化的磁场在其周围也会激发一种电 场，叫做感应电场，或涡旋电场。 涡旋电场与静电场比较： 相同处：都对电荷有作用力 不同处：1、涡旋电场是由变化的磁场激发的 2、描述涡旋电场的电力线是闭合的，它是非保守场，即E·d≠0， 而产生感生电动势的非静电力正是这一涡旋电场E， 写f,i-”o与.L有关 在一般情形下，空间E=正。+正，其中。·山=0，所以 6=fEa'di=f En+Eabdi=fE-di 而 =”s打曾 一.=-小曾由电磁学的基本方程之 对于稳恒条件下， 曾=0源=0 →∫E·di=0即静电场的环路定理 所以基本方程是静电场的环路定理，在非稳恒条件下的推广。 [程守洙普通物理学第五版，p348,13-6] 二、涡旋电流（傅科电流Foucault)

2 3 2 2 2 2 0 1 2 ( ) 2 ) 2 3 ( 2 R x x v R I N N r + = −  −   2 3 2 2 2 2 0 1 2 ( ) 2 3 R x N N r R I xv + =   方向不宜判断 §13-4 感生电动势 涡旋电场 涡旋电流 一、涡旋电场 动生电动势的非静电力是洛仑兹力，那么磁场变化产生的感生电动势，其非静电力 是什么呢？麦克斯韦认为：即使不存在导体回路，变化的磁场在其周围也会激发一种电 场，叫做感应电场，或涡旋电场。 涡旋电场与静电场比较： 相同处：都对电荷有作用力 不同处：1、涡旋电场是由变化的磁场激发的 2、描述涡旋电场的电力线是闭合的，它是非保守场，即   0 L E dl   涡 ， 而产生感生电动势的非静电力正是这一涡旋电场 E涡  ， dt d E dl L i  =  = −     涡 ， 与 B  、L 有关 在一般情形下，空间 E E静 E涡    = + ， 其中  = 0 L E dl   静 ，所以 E dl E E  dl E dl L L L i        =  = +  =   涡  静 涡   ， 而      = −  ===== −  = − ( ) (s) L s i ds t B B ds dt d dt d     当 不变时  ds t B E dl s L          = −   ( ) 电磁学的基本方程之一 对于稳恒条件下， = 0  dt d 或 = 0   t B    = 0  E dl L   即静电场的环路定理 所以基本方程是静电场的环路定理，在非稳恒条件下的推广。 [程守洙 普通物理学第五版，p348,13-6] 二、涡旋电流（傅科电流 Foucault）

1、p204,14-11 R很小，I可以很大， 因为，专x曾。（外加交流电） I@,P=IR 所以Pxo2,当o高到几百几千z时，P可以很大。 2、真空技术上，加热，放出残存在金属面上的少许气体 3、变压器、电机 4、涡电流产生阻尼作用 §13-6自感应 自感应：由于回路中电流产生的磁通量发生变化，而在自身回路中激发感应电动势 的现象，称为自感现象，相应的电动势称为自感电动势。 设回路电流为1，回路几何形状不变，且空间没有铁磁性物质时，则ΦcI,写成 等式， ΦxLI (1) 其中L称为该回路的自感系数（简称自感或电感），单位：享利H,L取决于回路几 何形状以及周围磁介质的磁导率。 当=1时，L=中，可见L在量值上等于当I=1时的中。 由法拉第定律 d 若回路几何形状和周围磁导率都不变，即L不变 出-0，气=-1出（关于负号的解释与力学的惯性比镜) 若回路有N匝的线圈组，某匝的磁通量为中，则 +D2+.+Φx=LI,即 y=L1,y=④，+①2+.+④、为全磁通 若中，=2=.=中w=，则N@=Ll (当I=1,L=w,或L=NΦ)

1、p204,14-11 R 很小，I 可以很大， 因为，      dt d i （外加交流电） I i   ， P I i R 2 = 所以 2 P   ，当  高到几百几千 Hz 时，P 可以很大。 2、真空技术上，加热，放出残存在金属面上的少许气体 3、变压器、电机 4、涡电流产生阻尼作用 §13-6 自感应 自感应：由于回路中电流产生的磁通量发生变化，而在自身回路中激发感应电动势 的现象，称为自感现象，相应的电动势称为自感电动势。 设回路电流为 I，回路几何形状不变，且空间没有铁磁性物质时，则   I ，写成 等式，   LI （1） 其中 L 称为该回路的自感系数（简称自感或电感），单位：享利 H，L 取决于回路几 何形状以及周围磁介质的磁导率。 当 I=1 时， L =  ，可见 L 在量值上等于当 I=1 时的  。 由法拉第定律 ( ) ( ) dt dL I dt dI g L dt d LI dt d L = − = +   − 若回路几何形状和周围磁导率都不变，即 L 不变 = 0 dt dL ， dt dI  L = −L （关于负号的解释与力学的惯性比较） 若回路有 N 匝的线圈组，某匝的磁通量为 i ，则 LI 1 + 2 ++ N = ，即  = LI ，  = 1 + 2 ++ N 为全磁通 若 1 = 2 == N =  ，则 N = LI （当 I=1， L = ，或 L = N ）

当回路不形变，周国磁介质不变，仍有=一出 L是N匝线圈的自感系数， (2 注意(1)与(2)式的区别。 例题：[P209,14-2]求长直螺线管L? 解：己知L、R、N、4 因为B=,=空 ,按定义，N=L ，又 所以， L=LV 补充例题：[五版，p357,13-7] 设有一电缆，由两个“无限长”的同轴的 圆筒状的导体组成，其间充满磁导率为μ的础 介质，电缆中沿内圆筒和外圆筒流过的电流 大小相等，求电缆单位长度的自感系数。 解：应用安培环路定律，可知在内圆筒之内和 外圆筒之外的空间中的磁感应强度都为零，在 内外两圆筒之间，离开轴线距离为r处的磁感 应强度为 B-,(R≤r≤R) 考虑长为1的部分电缆，通过面积元仙的磁通量为 d=B.ldr=uull dr 2πr 所以两圆筒之间(1长的一段)的总磁通量为

当回路不形变，周围磁介质不变，仍有 dt dI  L = −L L 是 N 匝线圈的自感系数， dt dI L L  = − （2） 注意（1）与（2）式的区别。 例题：[P209,14-2] 求长直螺线管 L？ 解：已知 L、R、N、  因为 l NI B =  ， l IN S N 2  =  ，按定义， N = LI l R N l N S I N L 2 2 2  =  =   = ，又 l N n = ， Sl =V , 所以， L n V 2 =  补充例题：[五版，p357,13-7] 设有一电缆，由两个“无限长”的同轴的 圆筒状的导体组成，其间充满磁导率为  的磁 介质，电缆中沿内圆筒和外圆筒流过的电流 I 大小相等，求电缆单位长度的自感系数。 解：应用安培环路定律，可知在内圆筒之内和 外圆筒之外的空间中的磁感应强度都为零，在 内外两圆筒之间，离开轴线距离为 r 处的磁感 应强度为 r I B   2 = ，（ 1 R2 R  r  ） 考虑长为 l 的部分电缆，通过面积元 ldr 的磁通量为 r Il dr d B ldr   2  =  = 所以两圆筒之间（l 长的一段）的总磁通量为

=-中尝是 由中=L1,可知单位长度电缆的自感系数为 49会是 例题：讨论LR电路的暂态过程。 (1)当开关拨向1时，LR上电压从0到ε， 由于自感， 接通时，电路中的总电动势 6+=8-l出 因电流变化不快，欧姆定律仍然成立， 6 小 1-员-是， 0.631m 大 31食=水e之， ,1246787m 其中K=hK 0.10=0.K=-员 1=l-e色， 或 1=60-%,其中=克驰 豫时间，称为电路的时间常数。 当t=x时， 1(x)=11-e)=0.631 8 t/ms

1 2 ln 2 2 2 1 R Il R r Il dr d R R      =  = =   由  = LI ，可知单位长度电缆的自感系数为 1 2 1 ln 2 R R Il L   =  = 例题：讨论 LR 电路的暂态过程。 （1）当开关拨向 1 时，LR 上电压从 0 到  ， 由于自感， dt dI  L = −L 接通时，电路中的总电动势 dt dI  +  L =  − L 因电流变化不快，欧姆定律仍然成立， IR dt dI  − L = ， + RI =  dt dI L dt L R R I dI = − −  ，积分 t K L R R ln( I − ) = − +  ， t L R K e R I −  − = 1  ， 其中 1 K = ln K t=0，I(0)=0， R K  1 = − ， (1 ) t L R e R I −  = −  ， 或 (1 ) 0  t I I e − = − ，其中 R L  = 弛 豫时间，称为电路的时间常数。 当 t = 时， 0 1 I( ) = I 0 (1− e ) = 0.63I − 