合肥工业大学：《大学物理》课程教学资源（教案讲义）第一篇 力学 1.4 狭义相对论

第五章狭义相对论基础 §5.1伽利略相对性原理经典力学的时空观 一.伽利略（牛顿力学）相对性原理 对力学规律而言，所有的惯性系都是等价的或在一个惯性系中，所作的任何理学实验都 不能够确定这一惯性系本身是静止状态，还是匀速直线运动。 力学中不存在绝对静止的概念，不存在一个绝对静止优越的惯性系。 二伽利略坐标变换式经典力学时空观 设当O与O'重合时t=t'=0作为记 时的起点 ◆y Ay 同一事件：K系中(X,y,乙，t) k系 k'系 K'系中(x',y,Z,t) X X' [x'=x-vt x=x'+vt y'=y 按经典观念： y=y Z=z z=z' t'=t (t=t u=u,-v [u,=u,+v t=t,dt=dt'→{u=u,或u,=u u,=u, (u,=u' 所谓绝对时空 1、时间：时间间隔的绝对性与同时的绝对性，即△t'=△t,t'=t。时间是与参照系无 关的不变量。 2、空间：若有一把尺子，两端坐标分别为 K中：P(X1,y1,Z,t),P2(X2,y2,Z2,t)

第五章 狭义相对论基础 §5.1 伽利略相对性原理 经典力学的时空观 一.伽利略（牛顿力学）相对性原理 对力学规律而言，所有的惯性系都是等价的或在一个惯性系中，所作的任何理学实验都 不能够确定这一惯性系本身是静止状态，还是匀速直线运动。 力学中不存在绝对静止的概念，不存在一个绝对静止优越的惯性系。 二.伽利略坐标变换式 经典力学时空观 设当 O 与 O 重合时 t = t = 0 作为记 时的起点 同一事件： K 系中 (x,y,z,t) K 系中 (x  ,y  ,z  ,t) 按经典观念：         =  =  =  = − t t z z y y x x vt 或        =  =  =  =  +  t t z z y y x x vt      =  =  =  +       =  =  = − =  =   z z y y x x z z y y x x u u u u u u v u u u u u u v t t ,dt dt 或 所谓绝对时空： 1、时间：时间间隔的绝对性与同时的绝对性，即 t = t,t = t 。时间是与参照系无 关的不变量。 2、空间：若有一把尺子，两端坐标分别为 K 中： P (x ,y ,z ,t),P (x ,y ,z ,t) 1 1 1 1 2 2 2 2

K'中：P(x,y,Z,t),P2(x2,y5,Z,t) 有△r=V△x2+△y2+△z2,△r'=V△x2+△y2+△z2 由t'=t,得△=△'，即：长度（空间间隔）是与参照系无关的不变量或长度（空间间 隔)的绝对性。 a =a, a'=a即ay=ay a,=a, 且认为f'=下，m'=m 因此：在K'中，有F=ma',得K中F=ma 由牛顿的绝对时空以及“绝对质量”的概念，得到牛顿相对性原理。 总结：牛顿定律在所有惯性系都具有相同的表述形式，即牛顿定律在伽利略变换下是协变 的，牛顿力学符合力学相对性原理。 §5.2狭义相对论基本原理与光速不变 一.引子：相对论主要是关于时空的理论 局限于惯性参考系的理论称为狭义相对论，推广到一般参考系和包括引力场在内的理论称 为广义相对论。 牛顿力学的困难： 例子：①打排球，发点球 超新星爆发过程中光线传播引起的疑问，如“蟹状星云”有较为样实的记载。“客 星”最初出现于公元1054年，历时23天， +超新星 往后慢慢暗下来，直到1056年才隐没。 按牛顿观点： C-v+ v=1500km.s 1=5000光年 50001y 会持续25年，能看到超新星开始爆发时发出的强光，其实不然 ③电动力学的例子

K 中： P (x ,y ,z ,t ),P (x ,y ,z ,t ) 1 1 1 1 2 2 2 2          有 2 2 2 2 2 2 r = x + y + z ,r = x  + y  + z  由 t = t, 得 r = r ，即：长度（空间间隔）是与参照系无关的不变量或长度（空间间 隔）的绝对性。 a a    = 即       =  =  = z z y y x x a a a a a a 且认为 F = F,m = m   因此：在 K 中，有 F = ma   ，得 K 中 F ma   = 由牛顿的绝对时空以及“绝对质量”的概念，得到牛顿相对性原理。 总结：牛顿定律在所有惯性系都具有相同的表述形式，即牛顿定律在伽利略变换下是协变 的，牛顿力学符合力学相对性原理。 §5.2 狭义相对论基本原理与光速不变 一.引子：相对论主要是关于时空的理论 局限于惯性参考系的理论称为狭义相对论，推广到一般参考系和包括引力场在内的理论称 为广义相对论。 牛顿力学的困难： 例子：○1 打排球，发点球 ○2 超新星爆发过程中光线传播引起的疑问，如“蟹状星云”有较为祥实的记载。“客 星”最初出现于公元 1054 年，历时 23 天， 往后慢慢暗下来，直到 1056 年才隐没。 按牛顿观点： v  1500 km.s-1 l  5000 光年 会持续 25 年，能看到超新星开始爆发时发出的强光，其实不然 ○3 电动力学的例子

物理规律需要用一定参考系来表述 麦克斯韦方程组→波动方程→真空中光速©→以太参考系→寻找以太参考系→寻 找到？ 爱因斯坦提出：所面临的困难处境： 1.存在力学相对性原理，但不适于电动力学，对电动力学存在一个优越的惯性系一一以太 参考系。 2.存在一个既适用于力学，又适用于电动力学的相对性原理。但麦克斯韦给出的电动力学 规律一一麦克斯韦方程组但不正确。 3.存在一个既适用于力学，又适用于电动力学的相对性原理，但牛顿给出的力学不正确。 爱因斯坦认为：这种不对称不像是自然现象本身所固有的问题，大概发生在我们所习惯 的旧概念和理论上。 他发现：只要把作为经典物理学基础的空间和时间观念加以改变，这种“不对称”就可 以消除。 他猜想：绝对静止这一概念，不仅在力学中，而且在电动力学中也不符合现象的特性 二狭义相对论基本原理（将猜想提升为假设） 1.狭义相对论的相对性原理（力学相对性原理的推广） 对一切物理规律而言，所有惯性系都是等价的 2.光速不变原理 真空中的光速向对于任何惯性系沿任一方向恒为，且与光源运动无关。 §5.3狭义相对论的时空观 一引子：同时性的相对性与时间延缓 1,两时钟（异地）的校准问题 2.同时的相对性 在K'系中：光同时到达 M A'和B B 在K系中：光速不变，光 先到达A'而后到达B

物理规律需要用一定参考系来表述 麦克斯韦方程组  波动方程  真空中光速 c  以太参考系  寻找以太参考系  寻 找到？ 爱因斯坦提出：所面临的困难处境： 1．存在力学相对性原理，但不适于电动力学，对电动力学存在一个优越的惯性系――以太 参考系。 2．存在一个既适用于力学，又适用于电动力学的相对性原理。但麦克斯韦给出的电动力学 规律――麦克斯韦方程组但不正确。 3．存在一个既适用于力学，又适用于电动力学的相对性原理，但牛顿给出的力学不正确。 爱因斯坦认为：这种不对称不像是自然现象本身所固有的问题，大概发生在我们所习惯 的旧概念和理论上。 他发现：只要把作为经典物理学基础的空间和时间观念加以改变，这种“不对称”就可 以消除。 他猜想：绝对静止这一概念，不仅在力学中，而且在电动力学中也不符合现象的特性。 二.狭义相对论基本原理（将猜想提升为假设） 1．狭义相对论的相对性原理（力学相对性原理的推广） 对一切物理规律而言，所有惯性系都是等价的 2．光速不变原理 真空中的光速向对于任何惯性系沿任一方向恒为 c，且与光源运动无关。 §5.3 狭义相对论的时空观 一.引子：同时性的相对性与时间延缓 1．两时钟（异地）的校准问题 2．同时的相对性 在 K 系中：光同时到达 A 和 B 在 K 系中：光速不变，光 先到达 A 而后到达 B

反之，在K'系中：达A'和B'同时发光，同时到达M'点 而在K系中：A'的光先到达M,B'光后到达M 以上情况，当参考系朝负方向运动，一切都反过来。在一惯性系中异地对准的时钟，在 另一个惯性系上观察会变的不准了，这就是同时的相对性的意义。 3.时间的膨张（时钟的延缓） ①垂直于相对运动方向的长度测量与运动无关 可用火车过山洞的例子定性加以说明 LLLLLL k' od-L_ uAt 钟 钟0， /4r'26 c △t △t' →△t= eB=YAL B-u/e.Y-I/-B AT 静止钟所显示的时间间隔△T称为固有时，△T=△t',.△t= √1-B2 注意：△t'是一个钟的时间差，△t是异地两个钟的先后差。当O,O'重合发出光信号， O,O'重合收到光信号，又由光速不变原理，如图，以上结果是显然的，除非光速为0。 二长度的相对性（运动长度的收缩）与长度收缩 1,长度的相对性 火车与站台的例子 K:对站台：AB静止，长度为AB

反之，在 K 系中：达 A 和 B 同时发光，同时到达 M 点 而在 K 系中： A 的光先到达 M ，B 光后到达 M 以上情况，当参考系朝负方向运动，一切都反过来。在一惯性系中异地对准的时钟，在 另一个惯性系上观察会变的不准了，这就是同时的相对性的意义。 3．时间的膨胀（时钟的延缓） ○1 垂直于相对运动方向的长度测量与运动无关 可用火车过山洞的例子定性加以说明。 ○2         = = +    = 2 2 b (u t / 2) c 2 c 2l t c 2b t 2 2 2 2 t , u / c, 1/ 1 1 t 1 u / c t t =    =  = −  −    = −     = 静止钟所显示的时间间隔  称为固有时，  = t 2 1 t −    = 注意： t 是一个钟的时间差， t 是异地两个钟的先后差。当 O1 O 重合发出光信号， O2 O 重合收到光信号，又由光速不变原理，如图，以上结果是显然的，除非光速为 。 二.长度的相对性（运动长度的收缩）与长度收缩 1．长度的相对性 火车与站台的例子 K ：对站台： AB 静止，长度为 AB

设A与A'重合，B与B'重合同时发生，则AB即为火车的长度 K':对火车：设A与A'重合在前，B与B'重合在后 故AB<A'B 尖锐的例子，列车过隧道 地面上看，列车与隧道一样长，可避免雷击 A'(A)在先 火车上看，列车长，隧道短，但 也可避免雷击 B'(B)在后 这里L。=AB'称为物体的固有长度。 同一物体长度，在不同的参考系内测量，会得到不同的结果。这就是长度相对性的意义。 2.垂直于运动方向尺子不收缩 A A c OOB' 图为A(A),B(B两讯号同时到达C(C) 3.洛伦兹收缩

设 A 与 A 重合， B 与 B 重合同时发生，则 AB 即为火车的长度 K ：对火车：设 A 与 A 重合在前， B 与 B 重合在后 故 AB  AB 尖锐的例子，列车过隧道 地面上看，列车与隧道一样长，可避免雷击 火车上看，列车长，隧道短，但           在后 在先 B (B) A (A) 也可避免雷击 这里 L0 ＝AB 称为物体的固有长度。 同一物体长度，在不同的参考系内测量，会得到不同的结果。这就是长度相对性的意义。 2．垂直于运动方向尺子不收缩 图为 A(A),B(B) 两讯号同时到达 C(C) 3．洛伦兹收缩

B A' K中：A'的读数为5 B的读数为t, ○ K K中：A的读数为t B A K'中：B的读数为t2 ○ A'的读数为t A K中：A的读数为t2 K:1=u(t2-t)t2一t,是一个钟的读数，是固有时 K':'=u(t-t) :化-0=产元 t2-t1 .1='W1-u2/c '是静止长度，又称固有长度，固有长度最长，1是K中测得的火车的运动长度 补例1：固有长度为5m的飞船以u=9000ms相对地面匀速飞行时，在地面上测得飞船的长 度为多少？ 解：1='V1-u21c2=4.999999998m 相对论效应不明显 补例2：试从π介子在其中静止的参考系来考虑π介子的平均寿命 解：u=0.99c实验室中测得飞行的距离=52m为固有长度。而在兀介子参考系中测量此距离 为1=1'V1-u2/c2=7.3m 而实验室飞过这段距离所用的时间为△t'=1'/u=2.5×10(S) 即为静止的π介子的平均寿命。 补例3μ子→电子+中微子，大气层厚9000米，μ子的固有寿命△T=2×10秒

K : l u(t t ) = 2 − 1 2 1 t − t 是一个钟的读数，是固有时 K : l u(t t ) 2 1   =  −  2 2 2 1 2 1 1 u / c t t (t t ) − −   −  = 2 2 l = l 1− u / c l 是静止长度，又称固有长度，固有长度最长， l 是 K 中测得的火车的运动长度 补例 1：固有长度为 5m 的飞船以 u＝9000m/s 相对地面匀速飞行时，在地面上测得飞船的长 度为多少？ 解： l l 1 u / c 4.999999998m 2 2 =  − = 相对论效应不明显 补例 2：试从  介子在其中静止的参考系来考虑  介子的平均寿命 解：u=0.99c 实验室中测得飞行的距离 l=52m 为固有长度。而在  介子参考系中测量此距离 为 l l 1 u / c 7.3m 2 2 =  − = 而实验室飞过这段距离所用的时间为 t l / u 2.5 10 (s) −8   =  =  即为静止的  介子的平均寿命。 补例 3： 子 → 电子＋中微子， 大气层厚 9000 米，  子的固有寿命 6 2 10−  =  秒

u=0.998c,若不考虑相对论效应，只能走600米。 △t 以地面系：△t= =3.17×10-5秒 V1-u21c2 1=u△t=9500米 以u子系：1=l,V1-u2/c2=600m 补例4：用洛伦兹变换验证长度的收缩公式 K'系中静止的棒'=X?一X K系中必须同时测即t2=t,I=X2一X 产是 1=1'V1-u2/c2 v1-u2/c2 §5.4洛伦兹变换 推导P处发生的某事件(x,y,乙，t),(x',y,Z,t)在两参考系之间的坐 标变换关系。 如图，在K中， y y p(x,y,z,t) x=ut+x'vI-u2/c2 X 解得x'= x-ut x'v1-u2/c2 v1-u2/c2 下图，在K'中，2 x'=xv1-u2/c2-ut'@

u＝0.998c，若不考虑相对论效应，只能走 600 米。 以地面系： 5 2 2 3.17 10 1 u / c t − =  −   = 秒 l = ut  9500 米 以  子系： l l 1 u / c 600m 2 2 = 0 − = 补例 4：用洛伦兹变换验证长度的收缩公式 K 系中静止的棒 x2 x1 l =  −  K 系中必须同时测即 2 1 x2 x1 t = t ,l = − 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 u / c u(t t ) 1 u / c x x 1 u / c x ut 1 u / c x ut l − − − − − = − − − − −   = 2 2 1 u / c l l −   = 2 2 l = l 1− u / c §5.4 洛伦兹变换 推导 P 处发生的某事件 (x,y,z,t),(x  ,y  ,z  ,t) 在两参考系之间的坐 标变换关系。 如 图 ， 在 K 中 ， 2 2 x = ut + x  1− u / c ○1 解得 2 2 1 u / c x ut x − −  = 下图，在 K 中 ， x x 1 u / c ut 2 2  = − −  ○2

①②消去x'得 、p(x',y',z,t) 消去x得 t'=t-ux/c' V1-u21e2 t'+ux'/c2 t=-ulc ，显 z 然y'=y,Z'=z [x'=y(x-ut) [x=y(x'+ut) y'=y 或/y=y z'=z z=Z' t'=y(t-ux/c2)t=y(t'+ux'/c2) 补例：求证：若V'0 mc+u四<1u<c c2+v'u @c+四=1→u=c c2+vu 很明显：符合光速不变原理的要求，也说明了，已具有0的一些性质，体现了c是物质运 动的最大速度，也是一切相互作用物体的极限速度

○1 ○2 消 去 x  得 消去 x 得 2 2 2 1 u / c t ux / c t − −  = 2 2 2 1 u / c t ux / c t −  +  = ，显 然 y  = y,z  = z        =    =  =  =            =  −  =  =  =  −  t (t ux / c ) z z y y x (x ut ) t (t ux / c ) z z y y x (x ut) 2 ＋ 2 ＋ 或 补例：求证：○1 若 v   c,u  c 则 v  c ○2     =  = v c,u c v c,u c   则 v = c ○3 若 v  = c,u = c 则 v = c 证： c v u c(v u) c c v u v u c 1 v u / c v u v 2 2 2 2 +   + = +   + = +   +  = 讨论：○1 v   c,u  c 则 (c v )(c u) c v u c(v u) 0 2 −  − = +  −  +  即 1 c v u c(v u) 2  +   + u  c ○2 ○3 得 1 u c c v u c(v u) 2 =  = +   + 很明显：符合光速不变原理的要求，也说明了，已具有  的一些性质，体现了 c 是物质运 动的最大速度，也是一切相互作用物体的极限速度

§5.5相对论速度变换 K中：V=k d少 V,= dz dt dx' dy' dz' K'v.-dtv=dtV.-d dx'dx dx' dt=dt-Bo dt' dt 1-Bdx dy' dy' dt dt dt' dt' Y(1-Bdx c dt d血 dz' = dt dt' Bdx c dt V= Vx-u 1-uv c2 1、uw c2 v:=Y,VI-u/c 1、v c2

§5.5 相对论速度变换 K 中： dt dz ,v dt dy ,v dt dx v x = y = z = K 中： dt dz ,v dt dy ,v dt dx v x y z    =    =    = dt dx c 1 c dt dx dt dt dt dx dt dx  − −  =   =   ) dt dx c (1 dt dy dt dt dt dy dt dy   − =   =   ) dt dx c (1 dt dz dt dt dt dz dt dz   − =   =   得                − −  = − −  = − −  = 2 x 2 2 z z 2 x 2 2 y y 2 x x x c uv 1 v 1 u / c v c uv 1 v 1 u / c v c uv 1 v u v

补例：设有两根相互平行的尺子，在各自静止的参考系中得长度均为1。它们以相同得速 ·向对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行尺子。求沿在一根尺上测量另一根尺子 的长度 V,=t"=2u 1+四1+ c2 1=l,i-./c=l,-41+u1ce=-u1c 1+u21c20 误解：1='V1-u2/c2=lnV1-u/c2V1-u2/c2=1n1-u2/c2) 主要错误是1=1。√1一u/c2是有条件的，必须在K系上同时测量，而由同时 的相对性，不可能在K、K'上同时发生两条件。 关于相对性与绝对性：时空量度的相对性、因果联系的绝对性。 §5.6狭义相对论动力学基础 一，相对论力学的基本方程 动量P=m立 牛顿第二定徐，下=dP。dmV) dtdt (若认为m不变，则该式对L一T非协变) 若定义：下=mV= mo -vle: F=dP=d(mv)=dm dtdtdt(v1-v2/c2 ①可以证明，上式对L一T是协变的，满足相对论协变性要求： ②当v<《c时，上式就过渡到经典的力学，其中。称为粒子的静止质量，而 m。 v1-v2/c2 称为粒子的运动质量

补例：设有两根相互平行的尺子，在各自静止的参考系中得长度均为 l。它们以相同得速率 u 向对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行尺子。求沿在一根尺上测量另一根尺子 的长度 解： 2 2 2 x x x c u 1 2u c v u 1 v u v + =  +  + = 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 2 x 2 0 l 1 u / c 1 u / c l l 1 v / c l 1 4u /(1 u / c )c + − = − = − + = 误解： l l 1 u / c l 1 u / c 1 u / c l (1 u / c ) 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 =  − = − − = − 主要错误是 2 2 0 l = l 1− u / c 是有条件的，必须在 K 系上同时测量，而由同时 的相对性，不可能在 K 、 K 上同时发生两条件。 关于相对性与绝对性：时空量度的相对性、因果联系的绝对性。 §5.6 狭义相对论动力学基础 一. 相对论力学的基本方程 动量 P mv   = 牛顿第二定律： dt d(mv) dt dP F    = = （若认为 m 不变，则该式对 L－T 非协变） 若定义： v 1 v / c m P mv 2 2 0    − = =       − = = = v 1 v / c m dt d dt d(mv) dt dP F 2 2 0     ○1 可以证明，上式对 L－T 是协变的，满足相对论协变性要求； ○2 当v<<c时，上式就过渡到经典的力学，其中 m0 称为粒子的静止质量，而 2 2 0 1 v / c m − 称为粒子的运动质量