合肥工业大学：《大学物理》课程教学资源（教案讲义）第一篇 力学 1.3 刚体转动

第三章刚体的转动 出发点：牛顿质点运动定律 刚体的运动分为：平动，定轴转动，定点转动，平面平行运动，一般运 动。 §3-1刚体的平动，转动和定轴转动 一刚体的定义：在无论多大力作用下物体形状和大小均保持不变。（理想模 型) 二平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此 平行，则这种运动叫做平动。 特征：1平动时刚体中各质点的位移，速度，加速度相等。 2动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距离保持不变的质点组。 受力：内力方和外力下 对每一个质元：满足牛顿运动定律F+方=Mia】 对刚体而言：∑(F+方上∑Miai →∑f+∑fi=∑Miai 显然∑i=0→∑F万=∑Mia=a∑M 故：∑F=Ma 即：刚体做平动时，其运动规律和一质点相当，该质点的质量与刚体的质量 相等，所受的力等于刚体所受外力的矢量和。 三转动和定轴转动 定轴转动的运动学特征：用角位移、角速度、角加速度加以描述，且刚体中 各质点的角位移、角速度、角加速度相等

第三章 刚体的转动 出发点：牛顿质点运动定律 刚体的运动分为：平动，定轴转动，定点转动，平面平行运动，一般运 动。 §3-1 刚体的平动，转动和定轴转动 一 刚体的定义：在无论多大力作用下物体形状和大小均保持不变。（理想模 型） 二 平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此 平行，则这种运动叫做平动。 特征：1 平动时刚体中各质点的位移，速度，加速度相等。 2 动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距离保持不变的质点组。 受力：内力 fi 和外力 Fi 对每一个质元：满足牛顿运动定律 Fi + fi =Mi a i 对刚体而言：  ( Fi + fi )=  Mi a i   Fi +  fi = Mi a i 显然  fi =0   Fi = Mi a I=a  Mi 故：  F ==M a 即：刚体做平动时，其运动规律和一质点相当，该质点的质量与刚体的质量 相等，所受的力等于刚体所受外力的矢量和。 三 转动和定轴转动 定轴转动的运动学特征：用角位移、角速度、角加速度加以描述，且刚体中 各质点的角位移 、角速度、角加速度相等。  = dt d ,  = dt d

对匀速、匀变速转动可参阅P210表4-2 角量与线量的关系： V=Ro at=Ra an=0R 转轴 转动平面 参考方向一 更一般的形式：角速度矢量的定义： i-ax7,a-da 显然，定轴转动的运动学问题与质点的圆周运动相同。 例：一飞轮在时间t内转过角度0=al+bf-cf,式中abc都是常量。求它的角加 速度。 解：飞轮上某点的角位置可用0表示为0=at+b1ct,将此式对t求导数， 即得飞轮角速度的表达式为 o=a+bie=动f1 角加速度是角速度对t导数，因此得 a会ed 由此可见，飞轮作的是变加速转动 §3-2力距刚体定轴转动定律 一力矩：设F在转动平面内

对匀速、匀变速转动可参阅 P210 表 4-2 角量与线量的关系： v=R  at=R  an=  2 R 转轴 转动平面 o 参考方向 更一般的形式：角速度矢量的定义：  =  ，  = dt d 显然，定轴转动的运动学问题与质点的圆周运动相同。 例：一飞轮在时间 t 内转过角度  = t at b 3 + -c t 4 ,式中 abc 都是常量。求它的角加 速度。 解： 飞轮上某点的角位置可用  表示为  = t at b 3 + -c t 4 ,将此式对 t 求导数， 即得飞轮角速度的表达式为  ＝ ( dt d t at b 3 + -c t 4 ）＝a+3b t 2 -4c t 3 角加速度是角速度对 t 导数，因此得  = dt d = dt d ( a+3b t 2 -4c t 3 )=6bt-12c t 2 由此可见，飞轮作的是变加速转动。 §3-2 力距 刚体定轴转动定律 一 力矩：设 F 在转动平面内

M=×F 应是矢量，对绕固定轴转动，M只有两种可能的方向，用正负即可表示， 按代数求和（对多个力）。 若F不在转动平面内，则要进行分解 二转动定律 首先考虑任一质元i,质量为M,所受内力方和外力 则 Fi+fi=Mia 按自然坐标系分解： Ficos+ficos,=-Miain-Mir, M

M = r  F M 是矢量，对绕固定轴转动， M 只有两种可能的方向，用正负即可表示， 按代数求和（对多个力）。 若 F 不在转动平面内，则要进行分解。 二 转动定律 首先考虑任一质元 i，质量为 Mi,所受内力 fi 和外力 Fi 则 Fi + fi =Mi a i 按自然坐标系分解： Fi cos  i ＋ fi cos i =－Mi a in=－Mi ri  2 i r F o Fi Mi ri fi  i

Fisin+fisin=Miait=Mir,a 第二式×r,得 F元snp,+元元，sm日=Mr,'a 对整个刚体 ∑Fir,simp,+∑ir,sim8,=∑(Mir)a :∑方r,sm0,=0. .内力距相互抵消 →∑ir,sm中-∑(Miri)a 令小∑（M,).称为刚体的转动惯量 而M.=∑ir,s血中 .总（合）外力距 M=a-9 故 .刚体的转动定律 (与牛顿第二定律比较) 三转动惯量的计算 1质点组 J∑(Mr) 川rpdv体令市 川r面令市 2质量连续分布 ∫rdmn= rl线分有 J是物体在转动中惯性大小的量度，决定于刚体各部分质量对给定转轴 的分布情况。 例：求质量为m长1的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量： (1)转轴通过棒的中心并和棒垂直： (2)转轴通过棒的一端并和棒垂直： (3)转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直

Fi sin  i ＋ fi sin i =Mi a it=Mi ri  第二式× ri 得 Fi ri sin  i ＋ fi ri sin i =Mi ri 2  对整个刚体  Fi ri sin  i ＋  fi ri sin i = （ Mi ri 2 ）    fi ri sin i =0.内力距相互抵消   Fi ri sin  i = （ Mi ri 2 ）  令 J= （ Mi ri 2 ）.称为刚体的转动惯量 而 M z = Fi ri sin  i .总（合）外力距 故 M z =J  = J dt d . 刚体的转动定律 （与牛顿第二定律比较） 三 转动惯量的计算 1 质点组 J= （ Mi ri 2 ） 2 质量连续分布 J= r dm2 =｛    线 分 布 面 分 布 体 分 布 dl ds d r r r     2 2 2 J 是物体在转动中惯性大小的量度，决定于刚体各部分质量对给定转轴 的分布情况。 例：求质量为 m 长 l 的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量： （1） 转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2） 转轴通过棒的一端并和棒垂直； （3） 转轴通过棒上距中心为 h 的一点并和棒垂直

解：(1)J。=∫rm (如图) -了x迹=m=四 2)Jjx迹=m如图 (3)J。=∫x mf+m 总结：J与以下几点有关： (1)与刚体总质量有关： (2)与质量分布有关： (3)与转动轴的位置有关。 四回转半径的概念： J-∑(Mir;) M=∑Mi 写成J-Mra r。称为刚体的回转半径 注意：求回转半径时，一般地不能把物体的质量看作集中在它的重心（质心） 上

解：（1） J 0 = r dm2 (如图) =  + − 2 2 2 l l x dx = ml 2 12 1 l m  = o x (2) J A =  l x dx 0 2  = ml 2 3 1 (如图) dx 2 l 0 x x （3） J B =  + − + h l h l x dx 2 2 2  = ml mh 2 2 12 1 + － 2 l +h dx 2 l +h x O x 总结：J 与以下几点有关： （1） 与刚体总质量有关； （2） 与质量分布有关； （3） 与转动轴的位置有关。 四 回转半径的概念： J= （ Mi ri 2 ） M=  Mi 写成 J=M r G 2 r G 称为刚体的回转半径 注意：求回转半径时，一般地不能把物体的质量看作集中在它的重心（质心） 上。 dx 2 l − 2 l

五平行轴定理 质心轴：通过质心的轴。 求物体对 于与质心轴平行的另一轴的转动惯量。 此定理说明了同一物体对于上述两轴的不同转动惯量关系。 M,(质量元) →yy X=X x y=y+d 设物体质量M,质心为c点，取两组直角坐标系oy2、0yz,z轴通过质心c 是质心轴，z轴平行于z轴，相距为d,物体对z轴的转动惯量为 J.=∑(M,r)=∑(x+y)M 物体对三轴的转动惯量为 J.=∑Mr-∑M,x+y,F∑M,x+Oy-d] =∑M,(x+y-2dy+d =∑M,(x+y)-2a∑My+d∑M. =J.-2d∑M,y+Md 因为z轴为质心轴， 即y.=∑M,y/∑M,=0 所以J=J+Md.平行轴定理 此定理叙述如下：

五 平行轴定理 质心轴：通过质心的轴。 求物体对于与质心轴平行的另一轴的转动惯量。 此定理说明了同一物体对于上述两轴的不同转动惯量关系。 z z ' d ri ' ri M i (质量元) c ※ o y y ' xi xi ' = x x ' y y d i i = + ' 设物体质量 M,质心为 c 点，取两组直角坐标系 oxyz、o ' y ' z '，z 轴通过质心 c， 是 质 心 轴， z ' 轴平行于 z 轴 ， 相距 为 d ， 物 体对 z 轴的 转 动惯 量 为 J z = （ M i ri 2 ）= （ x yi i 2 2 + ） M i 物体对 z ' 轴的转动惯量为 J z ' = M i ri ' 2 = M i ( xi ' 2 + yi ' 2 )=  M i [ xi 2 + ( ) 2 y d i − ] = M i ( xi 2 + yi 2 －2d yi + d 2 ) = M i （ x yi i 2 2 + ）－2d  M i yi ＋ d 2  M i = J z－2d  M i yi ＋M d 2 因为 z 轴为质心轴， 即 yc = M i yi /  M i =0 所以 J z ' = J z + M d 2 .平行轴定理 此定理叙述如下：

物体对于任一轴，的转动惯量，等于物体对平行于：轴的质心轴z转动 惯量，加上物体质量与两轴间距离平方的乘积。 例：固定在一起的两个同轴均匀柱体可绕其光滑的水平对称轴0O转动，设大小 圆柱体的半径分别为R和r,质量分别为M和m。绕在两柱体上的细绳分别与物体 m和m,相连，m和m,则挂在圆柱体的两侧。（如图）设R=0.20m,-0.10m,m=4 kg,M=10kg,m=m2=2kg,且开始时m、m,离地面均为求： (1)柱体转动时的角加速度α (2)两侧细绳的张力T,、T, (3)m,、m,中哪一个先着地？经多长时间 T 中

物体对于任一轴 z ' 的转动惯量，等于物体对平行于 z ' 轴的质心轴 z 转动 惯量，加上物体质量与两轴间距离平方的乘积。 例：固定在一起的两个同轴均匀柱体可绕其光滑的水平对称轴 O O ' 转动，设大小 圆柱体的半径分别为 R 和 r，质量分别为 M 和 m。绕在两柱体上的细绳分别与物体 m1 和 m2 相连， m1 和 m2 则挂在圆柱体的两侧。（如图）设 R=0.20m,r=0.10m,m=4 ㎏,M=10 ㎏, m1 =m2 =2 ㎏,且开始时 m1、m2 离地面均为求： （1） 柱体转动时的角加速度  （2）两侧细绳的张力 T1、T 2 （3） m1、m2 中哪一个先着地？经多长时间？ R O M m r O ' T1 T 2 T ' 1 T ' 2 m1 g m2 g h T1 T 2 a1 m1 g a2 m2 g

解：对于第一个物体由牛顿第二定律可知mg一T,=m4 对于第二个物体由牛顿第二定律可知T,一m,gm2☑@： 对于刚体由刚体转动第二定律可知TR一T,=Ja J=(mr+MR) 又由牛顿第三定律可知T=T,T,=T 由角量和线量关系可知a,=Ra,a:=ar hat 综合上式，代入已知值，可解得 a=6.13,T=17.2,T:=20.8m,先着地，时间为t181(S) §3-3定轴转动的角动能定理 一转动动能 设刚体定轴转动时的角速度为0，划分微元，对第i个微元 E。=mwi=5mro 所以E.=m0=o.转动动能 (与物体的平动动能相 比较) 二力矩的功 d A.=Fcos ps=Fr,cos Bde=F,r.sin ode=M,dg 所以A=∫M,d0 M=∑M为刚体所受的合外力距 所以A=∑A,=∫∑M)d0=∫M0 。 0。 注意：因刚体不变形，内力及内力 距的功永远为零

解：对于第一个物体由牛顿第二定律可知 m1 g－T1 =m1 a1 对于第二个物体由牛顿第二定律可知 T 2－m2 g=m2 a2 对于刚体由刚体转动第二定律可知 T ' 1 R－T ' 2 r= J  J= ( ) 2 1 2 2 mr + M R 又由牛顿第三定律可知 T1 =T ' 1 , T 2 =T ' 2 由角量和线量关系可知 a1 =R  ，a2 = r h= a t 2 1 2 1 综合上式，代入已知值，可解得  =6.13, T1 =17.2, T 2 =20.8, m1 先着地，时间为 t=1.81 (SI) §3-3 定轴转动的角动能定理 一 转动动能 设刚体定轴转动时的角速度为  ,划分微元，对第 i 个微元   2 2 2 2 1 2 1 Eki mi i miri = = 所以   2 2 2 2 1 2 1 J Ek miri =  = .转动动能 (与物体的平动动能相 比较) 二 力矩的功 d A F ds F r d F r d M d i i i i i i i = cos = cos = sin = 所以  =    0 A M d i i = Mi M 为刚体所受的合外力距 所以     = = =       0 0 A A ( M )d Md i i ds Fi 注意：因刚体不变形，内力及内力 ri d  距的功永远为零。 

三定轴转动的角动能定理 由转动定律：M=加=台=为品=o号 所 dA=Md0=Joxo -a=了aa-o-o.角动能定 0 理 (J不变的情况下) 四刚体的重力势能 E,-∑msh=8Σmh=e∑m血=sh m h-∑mh.体的质 高度 例：一根质量为m、长为1的均匀细棒OA(如图)，可绕通过其一端的光滑轴O在 竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中心 点C和端点A的速度。 0 A 解：先对细棒OA所受的力作一分析：重力G,作用在棒的中心点C,方向垂直 向下；轴和棒之间没有摩擦力，轴对棒作用的支撑力N垂直于棒和轴的接触面 且通过O点，在棒的下摆过程中，此力的方向和大小是随时改变的。 在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力N通过O点，所以支撑力N的 力矩等于零，重力G的力矩则是变力矩，大小等于mg00s0,棒转过一极小的 角位移d0时，重力距所作的微功是

三 定轴转动的角动能定理 由转动定律：         d d J dt d d d J dt d M J J z = = =  = 所以 dA = Md = Jd       2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 A = dA = J d = J − J   .角 动能定 理 （J 不变的情况下） 四 刚体的重力势能 h m h E m h m h c i i p i i i i mg m = g = g = mg =    m m h h i i c  = .刚体的质心 高度 例：一根质量为 m、长为 l 的均匀细棒 OA（如图），可绕通过其一端的光滑轴 O 在 竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中心 点 C 和端点 A 的速度。 O C A   解：先对细棒 OA 所受的力作一分析：重力 G，作用在棒的中心点 C，方向垂直 向下；轴和棒之间没有摩擦力，轴对棒作用的支撑力 N 垂直于棒和轴的接触面 且通过 O 点，在棒的下摆过程中，此力的方向和大小是随时改变的。 在棒的下摆过程中，对转轴 O 而言，支撑力 N 通过 O 点，所以支撑力 N 的 力矩等于零，重力 G 的力矩则是变力矩，大小等于 cos 2 1 mg ，棒转过一极小的 角位移 d 时，重力距所作的微功是

dA=mglcosl 在棒从水平位置下摆到竖直位置的过程中，重力距所作的总功 A-SdA-jmglcos@l0-mgl 应该指出：重力矩的功就是重力的功，也可用重力势能的差值来表示。棒在 水平位置时的角速度O。=0,下摆到竖直位置是的角速度为，按力矩的功和 转动动能增量的关系式得 2mgl- 由此得 -园 因J=m,代入上式得 厚 所以细棒在竖直位置时，端点和中心点的速度分别为 U,=I0=Bgi Ve-0=738 §3-4质点的角动量与角动量守恒定律 一质点的角动量（动量矩） 定义：i=rxp 大小：L=prsmn m 方向：右手螺旋 注意：角动量不仅与参考系有关，也与中心点的选择有关。 特例：圆周运动的质点： L=rxp

dA mg l cosd 2 1 = 在棒从水平位置下摆到竖直位置的过程中，重力距所作的总功 A dA mg l d mgl 2 1 cos 2 1 2 0 = = =      应该指出：重力矩的功就是重力的功，也可用重力势能的差值来表示。棒在 水平位置时的角速度 0 0  = ，下摆到竖直位置是的角速度为  ，按力矩的功和 转动动能增量的关系式得  2 2 1 2 1 mgl = J 由此得 J 3gl  = 因 ml J 2 3 1 = ，代入上式得 l 3g  = 所以细棒在竖直位置时，端点和中心点的速度分别为 l gl A  =  = 3 gl l C 3 2 1 2  =  = §3-4 质点的角动量与角动量守恒定律  一 质点的角动量（动量矩） 定义： L = r  p  大小： L = prsin  r m 方向：右手螺旋 注意：角动量不仅与参考系有关，也与中心点的选择有关。 特例：圆周运动的质点：  L = r  p O r m