北方交通大学：《交通规划原理》第一章 交通量分配（1.4）用户均衡分配（User Equilibrium Assignment）

交通守恒条件3:以终点S路段犷上的交通量为变 量 0:点J为非发生,吸引点时。 ∑x-∑x r:点j为发生点F时。 D:点j为吸引点S时 该守恒条件仅需要在吸引点连接的路段上进行路旁调査查 即可,调查项目少。但是,实际吸引点的确定较难

交通守恒条件 3：以终点s 路段ij 上的交通量 i j x 为变 量。 0：点 j 为非发生，吸引点时。  − = k s jk i s ij x x r s −t ：点 j 为发生点 r 时。 rs D ：点 j 为吸引点s 时。 该守恒条件仅需要在吸引点连接的路段上进行路旁调查 即可，调查项目少。但是，实际吸引点的确定较难

第4节用户均衡分配( User Equilibrium Assignmen) 1.固定需求型 (1)模型化 h>0时,c=c,k∈K",vrs∈9 0时,ck≥c,Vk∈K,rs∈g2 ∑12-=0,Vrs∈ k∈Ks h;s≥0.Vk∈Ksrs∈9 其中,:OD对S间第k条径路的交通量。 k:OD对FS间第k条径路的行驶时间 OUrS OD对7S间最短径路的行驶时间。 OD对rS间最短径路的行驶时间

第 4 节 用户均衡分配(User Equilibrium Assignment) 1.固定需求型 （1）模型化  0 rs hk 时，c = c k  K rs  rs rs rs k , , = 0 rs hk 时，c  c k  K r s rs rs rs k , ,  − =   rs k K r s r s k h t 0, rs h  k  K rs  r s r s k 0, , 其中， r s hk ：OD 对 rs 间第 k 条径路的交通量。 rs Ck ：OD 对 rs 间第 k 条径路的行驶时间。 rs C ：OD 对 rs 间最短径路的行驶时间。 r s t ：OD 对 rs 间最短径路的行驶时间

例:假设图示路网中各路段的通行能力和长度相等 将下表中按用户均衡分配法分配到网络上去。 解:利用用户均衡分配,可以得到以下两种结果。 径路1 径路1 径路2

例:假设图示路网中各路段的通行能力和长度相等。 将下表中按用户均衡分配法分配到网络上去。 O╲D 1 2 3 1 - 0 2 2 0 - 2 3 0 0 - 解：利用用户均衡分配，可以得到以下两种结果。 径路 2 径路 1 1 2 3 22 径路 2 径路 1 1 2 3 2 2

1)用户均衡时的交通量与行驶时间 径路1 时间 O D 径路2 C (2)C(x,) 通行能力交通量 (x) )·1+

（1）用户均衡时的交通量与行驶时间 径路2 径路1 O D 交通量 时间 通行能力                 =  +   a a a a a C x c ( x ) c (0) 1 c ( ) 2 2 c x ( ) 1 1 c x t 2 x ' x 1 x

用户均衡的概念

用户均衡的概念 ( ) 2 2 c x ( ) 1 1 c x c o c 2 x ' x o x 1 x t

2. Wardrop第一法则的等价最优化问题 Wardrop法则理论上合理,实际求解非常困难 Beckmann(1956)等价数理最优化模型(有约束非 线性最优化问题) min z= ∑∫。"c。(x)a S∈ s t ∑ k∈K7 X akk k∈Krs∈g h≥0,x≥0

２．Wardrop 第一法则的等价最优化问题 Wardrop 法则理论上合理，实际求解非常困难。 Beckmann（1956）等价数理最优化模型（有约束非 线性最优化问题） min    = a A x a a Z c x dx 0 ( ) s.t.  =    rs k K rs rs k h t , rs     =    r s r s k r s a k k K xa h a A rs ,  ,  0, a  0 r s k h x

3.非线性规划基础知识 a极值问题 a)极值条件 函数f(x)在x处有极值的必要条件:f(x0)=0 函数(在x处有极值的充分条件:"(x)≥0→极小值 f(x) f(x) ∫"(x0)≤0→极大值 f(x)=0 f(x)=0 极小值 极大值

3． 非线性规划基础知识 a. 极值问题 a)极值条件 函数 f(x)在 0 x 处有极值的必要条件： f '(x0 ) = 0 函数 f(x)在 0 x 处有极值的充分条件： f ''(x0 )  0→极小值 ''( ) 0 f (x) f x0  →极大值 f '(xo ) = 0 x 0 x 极小值 极大值 f (x) f '(xo ) = 0 0 x x

a)局部极值和全局板值 设函数f(X)为向量X=(x1,x2…,x),X∈R,若 f(X)≥f(X0),则称X为f(X)的最小点。 考虑图示情况,B,P2分别是f(X在领域R,R2上的最 小点。但是,P1并非是全域R上的最小点。 如B1,P2所示,仅其附近领域上的最小点称为局部极 小点,对应的函数值为局部极小值( local minmum)。在 全域上,f(X)取最小值的点为全局最小点,其值为全 局极小值( global minmum)。图中P2点既为局部最小点, 也为全局极小点

a)局部极值和全局极值 设函数 f (X ) 为向量 ( , , , ) 1 2 n X = x x  x ， X  R ， 若 ( ) ( ) X0 f X  f ，则称 X0为 f (X ) 的最小点。 考虑图示情况， 1 2 P ,P 分别是 f (X ) 在领域 1 2 R ,R 上的最 小点。但是， P1 并非是全域 R 上的最小点。 如 1 2 P , P 所示，仅其附近领域上的最小点称为局部极 小点，对应的函数值为局部极小值（local minmum）。在 全域上， f (X ) 取最小值的点为全局最小点，其值为全 局极小值（global minmum）。图中 P2 点既为局部最小点， 也为全局极小点

f(x) R R XI 局部极小点与全局极小点

局部极小点与全局极小点 f (x) 2 x 1 x P1 P2 R1 R2 R

b.非线性规划的种类 a)无约束非线性规划 min f(x) 为了求出f(x)在x附近的变化,采用泰勒展开如下 f(x0+△x)=f(x0)+Vf(x)△x+△xH(x0)Ax+ 其中,Vf(x)= af(x)af(x) af (x) a-fx af(x))) ax, a ax, a a-f(x)af(x) 2f(x) H(x)=0x, 0x, 0x3 a-f(x) af(x) a-f(x) axax, ax a H(x)为函数f(x)的海赛矩阵( Hessian matrix)

b．非线性规划的种类 a） 无约束非线性规划 min f (x) 为了求出 f (x) 在 0 x 附近的变化，采用泰勒展开如下： f x + x = f x + f x T x + x T H(x )x + 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 其中，              = n T x f x x f x x f x f x ( ) , , ( ) , ( ) ( ) 1 2                                              = n n n n n x f x x x f x x x f x x x f x x f x x x f x x x f x x x f x x f x H x 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )        H(x) 为函数 f (x) 的海赛矩阵(Hessian matrix)