北京化工大学：《自动控制原理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 采样控制系统（6.7）离散系统的稳定性分析

第七节离散统的稳定性分析 如上节所讲,采样会破坏系统的稳定性,所 以在设计采样系统时最先考虑的是稳定性 对采样系统稳定性分析主要建立在Z变换的 基础上

第七节 离散系统的稳定性分析 如上节所讲，采样会破坏系统的稳定性，所 以在设计采样系统时最先考虑的是稳定性。 对采样系统稳定性分析主要建立在Z变换的 基础上

连续系统的稳定性 稳定 所有特征根均具有负实部 ■方法:劳斯判据, Hurwitz判据及奈氏判据 在分析采样系统时,可以利用Z变换与拉氏变 换数学上的关系,找到Z平面与S平面之间的周 期映射关系,从而利用原有的各种判据来分析 系统稳定性

连续系统的稳定性  连续系统稳定 所有特征根均具有负实部  方法：劳斯判据,Hurwitz判据及奈氏判据。  在分析采样系统时，可以利用Z变换与拉氏变 换数学上的关系，找到Z平面与S平面之间的周 期映射关系，从而利用原有的各种判据来分析 系统稳定性

稳定条件及S,E平面对应关 系 T(a+jo) 2To Tt ee.,o,采样频率 则,Z T 连续系统中,闭环传递函数极点均位于s平面 的左半平面(a<0时,系统稳定,由此可以对 应出Z,S平面稳定区域之间的映射关系

一 稳定条件及S，E平面对应关 系 应出 ， 平面稳定区域之间的映射关系。 的左半平面 时，系统稳定，由此可以对 连续系统中，闭环传递函数极点均位于 平面 则， 采样频率 Z S s Z e T e e e e Z e e T s j T j T T TS T j s ( 0) , , , 2 ( )  = = = = = = +            

S平面 Z平面 a0不稳定

0 1 1 1 2 2 1 4 0 1 0 1 2 1 4 1 2 0 1 0 1                = =  = − = =  = =  = = − = − = − = − = =   Z Z Z Z Z Z Z S Z S Z s s s s 不稳定 临界稳定 沿虚轴变化 系统稳定 单位圆内 平面 平面                

S平面 S平面 稳定区

稳定区 j Im S S平面 Z平面稳定区 平面

■由此可见,S平面的左半开平面对应于Z平 面上的单位圆内,乙平面上单位圆上逆时针 增加一个频段,即逆时针转一圈,所以称 -2,21为主频段,其他称为次频段 可以看出主频段的面积影射成单位圆内, 而且任一次频段包围面积也影射为同一单 位圆,说明Z与S平面间的影射不是一一对 应,S中一点对应Z面中一点,但Z中一点对 应S平面中多个点

 由此可见，S平面的左半开平面对应于Z平 面上的单位圆内，Z平面上单位圆上逆时针 增加一个频段，即逆时针转一圈，所以称  为主频段，其他称为次频段。  可以看出主频段的面积影射成单位圆内， 而且任一次频段包围面积也影射为同一单 位圆，说明Z与S平面间的影射不是一一对 应，S中一点对应Z面中一点，但Z中一点对 应S平面中多个点。 ] 2 , 2 [ s s −

例 ■轧钢机压下位置控制系统速度,T。控制系 统等效时间常数,T。=100ms,采样周期取为 T=100ms,开环增益K=10 U(S) K Y(S) S(TS+ ■分析系统的稳定性

 例一：  轧钢机压下位置控制系统速度， 控制系 统等效时间常数， , 采样周期取为 T=100ms,开环增益K=10  分析系统的稳定性 Tu T ms u =100 S( S +1) K Tu U（S） Y（S）

开环脉冲传递函数闭环特征方程 K G(Z)=Z 1+G(Z)=0 (T S+D) →(-1(-e)+K2z(1-e)=0 K T, TS+ →Z2+4.952Z+0.368=0 →Z1=-0.076,Z2=-4.876 有一特征根在单位园外, KZ (I-e Iu 所以系统不稳定 (二-1)( 0.632KZ 1)(z-0.368

( 1)( 0.368) 0.632 ( 1)( ) 1 1 1 1 1 − − = − − − =           − − − =         + = −         + = − − − Z Z KZ T z z e T KZ e T Z e Z Z Z K S S KZ S S K G Z Z u u u T T T u u u T T T （ ） （ ） （ ） 开环脉冲传递函数 0.076, 4.876 4.952 0.368 0 ( 1)( ) 1 0 1 0 1 2 2  = − = −  + + =  − − + − = + = − − Z Z Z Z T KZ e T z z e G Z u u T T （ ） （ ） 闭环特征方程 有一特征根在单位园外， 所以系统不稳定

稳定判据 ■1.劳斯判据 ■劳斯判据理论是建立在特征根是否全部具 有负实部的基础上,只能应用于S平面,而 无法适用于Z平面。为了判断采样系统的稳 定性,必须采用双线性变换,把Z平面变换 到另外一复平面中,采用双线性变换和劳 斯稳定判据相结合是离散系统稳定性分析 的一种常用方法

二.稳定判据  1.劳斯判据  劳斯判据理论是建立在特征根是否全部具 有负实部的基础上，只能应用于S平面，而 无法适用于Z平面。为了判断采样系统的稳 定性，必须采用双线性变换，把Z平面变换 到另外一复平面中，采用双线性变换和劳 斯稳定判据相结合是离散系统稳定性分析 的一种常用方法

双线性变换定义: r+1 Z+1 1+r 或Z +1 作用:把Z平面中单位圆内部映射到r平面的左半平面 设=a+10,z单位圆内部为2=2+0+1→a>0 r平面类似于S平面,与Z平面具有相同的映射关系,但是 在定量关系上它决不等效于S平面

在定量关系上它决不等效于 平面。 平面类似于 平面，与 平面具有相同的映射关系，但是 同理可得： ； 所以 ； 即 设 单位圆内部为 作用：把 平面中单位圆内部映射到 平面的左半平面。 或 双线性变换定义： S r S Z Z Z Z j j r j Z Z Z r Z Z r r r Z Z Z r r r Z 1 0 1 0 1 0 ( 1) ( 1) , 0 1, 1 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 = → =  →   →  + +  − +    + − + + = + = + −  = − + = − +  = − + =              