北京化工大学：《自动控制原理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 控制系统的状态空间模型（2.2）控制系统的状态空间模型

§2控制系统的状态空间模型 微分方程→单输入、单输出线性定常系统 状态空间方程→多变量系统,现代控制理 论的数学描述方法 两种表示方法可以互相转换

§2 控制系统的状态空间模型 微分方程 两种表示方法可以互相转换。 状态空间方程 → 单输入、单输出线性定常系统 → 多变量系统，现代控制理 论的数学描述方法

21状态空间的基本概念 被控对象的变量可以分为三类: ■输入变量(控制变量和干扰变量) u=u.u,.u ■输出变量(被控变量) y=y12y2,…ymn ■状态变量(表征系统内部特征的变量) x=x

2.1 状态空间的基本概念 被控对象的变量可以分为三类： n 输入变量（控制变量和干扰变量） T u u u ur [ , ] = 1 2  n 输出变量（被控变量） T m y [ y , y , y ] = 1 2  n 状态变量（表征系统内部特征的变量） T n x [x , x x ] = 1 2 

对于线性定常系统,其状态方程的基本形式为 x= Ax+ Bu y=Cx+ Du 其中,x:n维向量,u:r维向量,y:m维向量。 A:系数矩阵n×n维,B:控制矩阵n×r维 C:输出矩阵m×n,D:关联矩阵m×r 注意:(1)状态变量的选取不是唯一的 (2)状态变量可以测量或不可测量

对于线性定常系统，其状态方程的基本形式为 y Cx Du x Ax Bu = +  = + 其中， A：系数矩阵n×n 维， C：输出矩阵m×n， D：关联矩阵m×r B：控制矩阵n×r 维， x：n 维向量， u：r 维向量，y：m 维向量。 （2）状态变量可以测量或不可测量。 注意： （1）状态变量的选取不是唯一的

22状态空间方程的建立 例2-2-1力学系统弹簧质量-阻尼器系统如图示。 列出以拉力F为输入,以质量单元的位移y为输出的 状态方程。 Ff Fk 多 Fi Fi 图2-5弹簧质量阻尼器系统 (1)确定输入变量: 系统入:Fi,出:y

2.2 状态空间方程的建立 例2-2-1 力学系统 弹簧-质量-阻尼器系统如图示。 列出以拉力Fi为输入，以质量单元的位移y为输出的 状态方程。 （1）确定输入变量： M k y Fi Fi y M Ff Fk 图 2-5 弹簧-质量-阻尼器系统 系统入: Fi， 出：y

(2)基本定理: Ff Fk 古典力学系统符合牛顿第二定律 ∑F y h (2-2-1)Fi 合力:∑F=F+F+F 其中,弹簧阻力F=-小,k是弹簧的弹性系数 壁摩擦力 Fr f是摩擦系数 dt 代入(2-2-1)式: dy+ f dt +小、(2.x32) 弹簧平移运动是一个二阶线性系统

（2）基本定理： F = ma （2-2-1） 古典力学系统符合牛顿第二定律 合力：F = Fi + Fk + Ff 其中，弹簧阻力 F ky , k = − , dt dy F f 壁摩擦力 f = − k是弹簧的弹性系数。 f是摩擦系数。 代入（2-2-1）式： （2-2-2） 2 2 dt d y Fi −+ kyFk +FFf = m （2-2-1） dt dy − f ky Fi dt dy f dt d y m + + = 2 2 弹簧平移运动是一个二阶线性系统。 Fi y M Ff Fk 2 2 dt d y = m

(3)定义状态向量、控制向量和输出向量 J m de+f.+ky=F dt x2=y=1 u=F y=y 整理(2-2-2)式m +∫x2+k= (222) (4)可将2阶微分方程表示的系统写成2个一阶微分 方程组的形式 db x1+—L dt

（3）定义状态向量、控制向量和输出向量 , u Fi = 整理（2-2-2）式 Fi k y dt dy f dt d y m + + = 2 2 （2-2-2） x = y 1 x = y  2 dt dx2 x2 x1 u x1 =  y = y , ky Fi dt dy f dt d y m + + = 2 2 （4）可将2阶微分方程表示的系统写成2个一阶微分 方程组的形式 2 1 x dt dx = u m x m k x m f dt dx 1 2 1 2 = − − +

d dt J db f k x1+—W dt 2 x= Ax+ Bu 进一步表示为矩阵形式: y=Cx+ Du 01 0 1 1 k f 和y=[10]

进一步表示为矩阵形式：       = 2 1 x x x    和         = 2 1 x x y u x x            +              = 2 1 2 1 x dt dx = u m x m k x m f dt dx 1 2 1 2 = − − + y Cx Du x Ax Bu = +  = + x = y 1 m k − 1 0 m f − 0 m 1 1 0

0 0 k f xx] 得到 状态方程x=Ax+B输出方程y=Cx 0 0 系数矩阵A=k控制矩阵B n 输出矩阵C=[

得到 x  = Ax + Bu 系数矩阵         − − = m f m A k 0 1 控制矩阵         = m B 1 0 输出矩阵 C = 1 0 状态方程 输出方程 y = Cx         = 2 1 1 0 x x y u m x x m f m x k          +              − − = 1 0 1 0 2 1 

归纳建立状态方程的步骤: (1)确定系统的输入变量和输出变量。 (2)用微分方程表达对象的数学模型,如有非线性 特性则作线性化处理。 (3)根据微分方程的阶次,选择独立的状态变量,用 阶微分方程组的形式来表达对象的数学模型。 (4)整理表达式为x=Ax+Bu的形式。 (5)根据输出变量是状态变量的线性组合,得出 输出方程y=Cx

归纳建立状态方程的步骤： （1）确定系统的输入变量和输出变量。 （4）整理表达式为 x  = Ax + Bu 的形式。 （5）根据输出变量是状态变量的线性组合，得出 输出方程 y = Cx 。 （3）根据微分方程的阶次, 选择独立的状态变量，用 一阶微分方程组的形式来表达对象的数学模型。 （2）用微分方程表达对象的数学模型，如有非线性 特性则作线性化处理

例222系统由两个液体贮槽串联组成 在这个系统中,液位h2作为被控变量,调节阀的开度f 是控制变量。 由以前分析可知,经线性化后: h1 RI QI Q1 h1 R Al R2 R?12√h0 Qo A2 2,=afh,=2+f 图26液体贮槽 R2 0 R22√h0 =0 20

例2-2-2 系统由两个液体贮槽串联组成。 由以前分析可知，经线性化后： Qi h1 A1 R1 Q1 h2 A2 R2 Qo 图2-6 液体贮槽 1 1 1 R h Q = , 2 1 20 0 2 h f R  = h2 Q f o = 在这个系统中，液位h2作为被控变量，调节阀的开度f 是控制变量。 , 1     = h R , 2 2 kf R h = + k =  h20