北京化工大学：《自动控制原理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 采样控制系统（6.3）z变换

第三节z变换 乙变换的思想来源于连续系统 乙变换在采样系统中的作用与L变换在连续系 统中的作用等效 乙变换可以看作是采样函数L变换的一种变形

第三节 z变换  Z变换的思想来源于连续系统  Z变换在采样系统中的作用与L变换在连续系 统中的作用等效  Z变换可以看作是采样函数L变换的一种变形

本节主要内容介绍: 离散信号的L变换 离散信号的z变换 3.z变换的方法 4.z变换的性质 5.z反变换

 本节主要内容介绍： 1. 离散信号的L变换 2. 离散信号的z变换 3. z变换的方法 4. z变换的性质 5. z反变换

离散信号的L变换与z变换 ■连续信号f(经采样后得到采样函数f() f()=∑f()6(-k7 k=0 L变换公式: F(S)=Lf()= f(t)esdt 将上述采样信号进行L变换可得:

一离散信号的L变换与z变换  连续信号f(t)经采样后得到采样函数f * (t)  L变换公式：  将上述采样信号进行L变换可得：   =  = − 0 ( ) ( ) ( ) k f t f k T  t k T   − = = 0 F(s) L{ f (t)} f (t)e dt st

F(s)=L((D)2f(7)6(t-k7)*esdt k=0 f(0()*ea+5f(m)(-7)+e+ f(27)(t-27)* *2T dt 0 f(0)+f(m)e3+f(2)e 27S ∑f(k7)em k=0 (1)

       = − − −  −  −  − −   =  = = + + + − + = + − + = = − 0 2 0 *2 0 * 0 *0 0 0 * ( ) (0) ( ) (2 ) (2 ) ( 2 )* (0) ( )* ( ) ( )* ( ) { ( )} ( ) ( )* k nTs Ts Ts s T s s T s t k f k T e f f T e f T e f T t T e dt f t e dt f T t T e dt F s L f t f k T t k T e dt       （1）

离散信号的z变换 引入z变量:=e 那么就可以得到离散信号的z变换 "()}=F(=)=∑f(km(2) 上述两个公式均表示为采样信号f()的L变 换,不同之处就在于定义域s和z 将z变换公式和L变换公式比较可知,二者 致,说明z变换在采样系统中的作用等价 与L变换在连续系统中的作用

离散信号的z变换  引入z变量：  那么就可以得到离散信号的z变换  上述两个公式均表示为采样信号f * (t)的L变 换，不同之处就在于定义域s和z；  将z变换公式和L变换公式比较可知，二者 一致，说明z变换在采样系统中的作用等价 与L变换在连续系统中的作用 Ts z = e   =  − = = 0 * { ( )} ( ) ( ) k n z f t F z f k T z （2）

注意:F(z)实际上只是采样函数f()的z变换, 而不是连续函数f()的z变换 对多 对 连续函数 采样函数 z变换函 数ft 2(t)

 注意：F(z)实际上只是采样函数f * (t)的z变换， 而不是连续函数f(t)的z变换。  一对多 一对一 连续函数 采样函数 z变换函 数 f1 (t) f2 (t) t f(t)

z变换方法 1。级数求和法(亦称定义法) 例:给定斜坡函数f()=at F()=(f()=∑ak7.z k=1 =kz(1+22+3z2+…) kTz

二 z变换方法 1。级数求和法（亦称定义法） 例：给定斜坡函数 f (t) = at 1 2 1 1 1 2 1 (1 ) (1 2 3 ) ( ) ( ( )) − − − − −  = − − = = + + + = =   z kTz kTz z z F z z f t akT z k k 

2。部分分式法(查表法) s域时域 域 G(s)=∑ t p S+ p 则相应地: G()=Z(=∑ C.2 PiT

2。部分分式法（查表法） s域 时域 z 域 则相应地： 1 1 1 ( ) , − − − = −   + + = e z a a e s p a s p a G s p T p t i i i i n i i i i i  = − − = − − = − = = n i p T i n i p T i e z a z e a z G z Z f t i i 1 1 1 1 ( ) [ ( )]

例:求传递函数G(s) b (S+a)(s+b) 的z变换 解:部分分式法 b G(z)=Z[G(s)=∠[ (S+a)(S+b) ZL sta s+b

例： 求传递函数 的z变换。 解：部分分式法 ( )( ) ( ) s a s b b a G s + + − = a T b T z e z z e z s a s b Z s a s b b a G z Z G s Z − − − − − = + − + = + + − = = ] 1 1 [ ] ( )( ) ( ) [ ( )] [

z变换的性质 1,线性2a1x1(1)+a2x2(D)=a1X1(z)+a2X2(z) 位移zx(-m7)=-mxX( x+m)=mX()-∑X(k)=k k=0 3,初值x(0)=imX(x) 2→>0 4,终值 x(x)=lm(z-1)X()=lm(1-x-1)X(=) z→)1 (只有k→>∞时x(k)收敛情况下才能应用)

三 z变换的性质 1，线性 2，位移 3，初值 4，终值 （只有 时x(k)收敛情况下才能应用） [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 Z a x t + a x t = a X z + a X z [ ( )] [ ( ) ( ) ] [ ( )] ( ) 1 0  − = − − + = − − = m k m k m Z x t m T z X z X k z Z x t m T z X z x(0) lim X (z) z→ = ( ) lim ( 1) ( ) lim (1 ) ( ) 1 1 1 x z X z z X z z z − → →  = − = − k →