北京化工大学：《自动控制原理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 线性系统状态空间设计方法（7.4）对偶原理

第四节对偶原理 能控性和能观测性无论是从概念上还是从 判据的形式上都是对偶的,这种对偶关系 反映了系统的能控问题与估计问题之间的 对偶性

第四节 对偶原理 能控性和能观测性无论是从概念上还是从 判据的形式上都是对偶的，这种对偶关系 反映了系统的能控问题与估计问题之间的 对偶性

对偶系统: 给定线性定常系统Σ: x=Ax+B.x∈Rn,∈RP y ∈R 则它的对偶系统Σ为: b=-Ag2+Cn,p∈R",n∈R B RP

对偶系统： 给定线性定常系统 ： 则它的对偶系统 为： m n p y Cx y R x Ax Bu x R u R =  = +   ,  , ,  d T T T T p T T T T T T n T m B R A C R R =  = − +           , , ,  

对偶系统又称为伴随系统,可以看出给定 系统和对偶系统之间的状态维数一致,而 给定系统的输入,输出维数分别等于对偶 系统的输出和输入维数 给定系统的运动是状态点在状态空间中由 t到t的正时向转移,而对偶系统的运动是 协状态点在状态空间中由t到的反时向转 移

对偶系统又称为伴随系统，可以看出给定 系统和对偶系统之间的状态维数一致，而 给定系统的输入，输出维数分别等于对偶 系统的输出和输入维数。  给定系统的运动是状态点在状态空间中由 t 0到t的正时向转移，而对偶系统的运动是 协状态点在状态空间中由t到t 0的反时向转 移

线性系统及其对偶系统之间的关 系 给定系统和对偶系统的方块图是对偶的 B C A()

线性系统及其对偶系统之间的关 系：  给定系统和对偶系统的方块图是对偶的

对偶原理: 给定系统和对偶系统在能控性和能观测 性上具有以下对应关系 给定系统的完仝能控性等价于对偶系统 的完全能观测性,给定系统的完全能观 测性等价于对偶系统的完全能控性

对偶原理： 给定系统和对偶系统在能控性和能观测 性上具有以下对应关系： 给定系统的完全能控性等价于对偶系统 的完全能观测性，给定系统的完全能观 测性等价于对偶系统的完全能控性

验证 给定系统的能控性判别矩阵 O=B AB AB 对偶系统的能观测性判别矩阵 B B A B-AB AB B/(A" 二者秩完全相同

验证： 给定系统的能控性判别矩阵 对偶系统的能观测性判别矩阵 Q B AB A B n c −1 =    T n T T n T T T o B AB A B B A B A B Q 1 1 ( ) − − = − −               − − =   二者秩完全相同

给定系统的能观测性判别矩阵 CA 对偶系统的能控性判别矩阵 CA CAn-I 二者秩完全相同

给定系统的能观测性判别矩阵 对偶系统的能控性判别矩阵             = n−1 o CA CA C Q    T n T T T T n T o C A C A C Q C A C A C             − − = − − = − − 1 1 ( )   二者秩完全相同

用 MATLAB对系统能控性和能观测进 行检测 1.能控性判定 %获得系统维数 Qc=[BI: %构造能控性判别阵Qc for i=1:n-1 Qc=IQc A(*BI end if rank(Qc)==n%如果Qc秩等于n,则完全能控 disp('the system is controllable); else disp(the system is uncontrollable); end

用MATLAB对系统能控性和能观测进 行检测 1．能控性判定： n=length(A); %获得系统维数 Qc=[B]; %构造能控性判别阵Qc for i=1:n-1 Qc=[Qc A^(i)*B]; end if rank(Qc)==n %如果Qc秩等于n，则完全能控 disp('the system is controllable'); else disp('the system is uncontrollable'); end

2.能观测性判定 %获得系统维数 %构造能观测性判别阵Qo Qo=Q0: CA OI end if rank(Qo)=n%如果Qo的秩等于n,则完全能观 disp(the system is observable") else disp(the system is unobservable); end

2．能观测性判定 n=length(A); %获得系统维数 Qo=[C]; %构造能观测性判别阵Qo for i=1:n-1 Qo=[Qo；C*A^(i)]; end if rank(Qo)==n %如果Qo的秩等于n，则完全能观 disp('the system is observable'); else disp('the system is unobservable'); end