北京化工大学：《自动控制原理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 控制系统的状态空间模型（2.4）数学模型表达式之间的对应关系

§4数学模型表达式之间的对应关系 描述线性定常系统的主要方法(下章涉及求解方法) 微分方程(基础) 输入输出数学模型 传递函数(求解方便,适 用零初始条件的线性系统) 状态方程(多变量系统) 状态空间模型 口相同的系统可以用以上三种方法描述 口它们可以互相转换

§4 数学模型表达式之间的对应关系 描述线性定常系统的主要方法（下章涉及求解方法 ） 状态空间模型 ❑ 相同的系统可以用以上三种方法描述 ❑ 它们可以互相转换 ▪ 微分方程（基础） ▪ 传递函数 （求解方便，适 用零初始条件的线性系统） ▪ 状态方程 （多变量系统） 输入输出数学模型

4.1微分方程和传递函数 微分方程与传递函数之间的转换通过拉氏变换和反 拉氏变换实现。 微分方程: y+ay+a,y+.tamn-ytany boum+bu+.+.,.u 在初始条件为零的情况下,对上式两端取拉氏变换 Y(S)+asY(s)+ n-2) Y(S)+.+a-sr(s)+a,r(s) bos(mU(s)+b,s(m-U(s)..+bm-IsU()+bm U(s)

4.1 微分方程和传递函数 微分方程与传递函数之间的转换通过拉氏变换和反 拉氏变换实现。 微分方程： y a y a y a y a y n n n n n + + + + − + − − ' 1 ( 2) 2 ( 1) 1 ( )  在初始条件为零的情况下，对上式两端取拉氏变换： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 2) 2 ( 1) 1 ( ) s Y s a s Y s a s Y s a sY s a Y s n n n n n + + + + − + − −  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) 0 b s U s b s U s b sU s b U s m m m m = + + + − + −  b u b u bm u bm u m m = + + + − + − ' 1 ( 1) 1 ( ) 0 

sY(s)+a;"Y(s)+a2s2Y(s)+…+an1SY(s)+anY(s) bsmU(s)+bsmU(s)+…+bn1sU(s)+bnU(s) 相应的传递函数 Y(s) oS)+b,s+.+bm-1S+b G(S) U()S+的(n-1+(n2)+…+an-1S+a 如果已知系统的传递函数,可以通过拉氏反变换, 得到系统输入输出关系的微分方程式。 y+ay+a2y+.++any =bou)+b,u+.+bm-u+bmu

相应的传递函数： ( ) ( ) ( ) U s Y s G s = 如果已知系统的传递函数，可以通过拉氏反变换， 得到系统输入输出关系的微分方程式。 n n n n n m m m m s a s a s a s a b s b s b s b + + + + + + + + + = − − − − − 1 ( 2) 2 ( 1) 1 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) 0   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 2) 2 ( 1) 1 ( ) s Y s a s Y s a s Y s a sY s a Y s n n n n n + + + + − + − −  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) 0 b s U s b s U s b sU s b U s m m m m = + + + − + −  y a y a y a y a y n n n n n + + + + − + − − ' 1 ( 2) 2 ( 1) 1 ( )  b u b u bm u bm u m m = + + + − + − ' 1 ( 1) 1 ( ) 0 

4.2微分方程和状态方程 把微分方程转换成状态方程的过程有两步: ◆把一个n阶微分方程转换成n个一阶微分方 程式组 ◆把微分方程组表示成矩阵形式

4.2 微分方程和状态方程 把微分方程转换成状态方程的过程有两步： ◆ 把微分方程组表示成矩阵形式。 ◆ 把一个n阶微分方程转换成n个一阶微分方 程式组

对于单输入单输出的系统,根据输入函数的形式, 分两种情况讨论。 1、输入函数不含导数项 y"+a11n-1)+2P(n-2) +…+an-1y+any=bu (1)取状态变量 J J xn= y 所以 1) y=an-1y tbu =-a.x,-l.,x,-…-a,x.+b

1、输入函数不含导数项 对于单输入单输出的系统，根据输入函数的形式， 分两种情况讨论。 y a y a y an y an y bu n n n + + + + − + = − − ' 1 ( 2) 2 ( 1) 1 ( )  （1）取状态变量 , 1 x = y , 1 2 x  = x 所以 x a y a y a y bu n n = − n − n − − + − − ( 1) 1  1   = −an x1 − an−1 x2 −− a1 xn + bu , 2 3 x  = x n n x = x −1 …  , 2 x = y  ( −1) = n n … x y

(2)用矩阵表示为 0 0 0 01000 L 0 3 1 y=[,0, 0 矩阵形式为x=Ax+Buy=Cx A、B、C分别是系统的系数矩阵、控制矩阵和输出矩阵

（2）用矩阵表示为： =               . . 2 . 1 xn x x  y = 矩阵形式为 x  = Ax + Bu y = Cx A、B、C 分别是系统的系数矩阵、控制矩阵和输出矩阵。                 − − −1 − 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 an an  a              3 2 1 x x x  u b              0 0 ● ＋ 1, 0, , 0   T x1 x2  xn ●

状态变量图 D>积分器回 比值器 V=x +加法器 .x1- 1~2 ax+bu u n ●。 a a a

状态变量图 x a x a x a x bu x x y x x x x x n n n n n n = − − − − + = = = = − − 1 1 2 1 1 1 2 3 1 2         b  + -a1 + u x = y 1 xn−1 xn xn   积分器 a 比值器 + + 加法器  …  + -an -an-1 + -a2 + … x2

例2-4-1 3 (3)-2y+6 y=5u 解:令x1=y,x2=y,x3=y,x=y (3) 所以x 4=-6x1+2x3-3x4+5u 状态方程为: 0100 0 0010 0 J 0001 0 602-3 5

例2-4-1 y 3y 2y 6y 5u (4) (3) (2) + − + = 解： (3) 1 2 3 4 令 x = y, x = y' , x = y'' , x = y 所以        = − + − + = = = x x x x u x x x x x x 4 6 1 2 3 3 4 5 3 4 2 3 1 2     状态方程为： x x             − − = • 6 0 2 3 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 , y = 1 0 0 0x 5 0 0 0 u             +

2、输入函数含导数项 先以二阶系统为例,其微分方程为: j+aj+a,y=bu+,u+b,u(2-4-1) 若仍取x1=y,x2=y作为状态变量,则状态方程为 a2K1-a1x2+bou+b,u+ b2u 控制矩阵B无法表示,需选择新的状态变量

2、输入函数含导数项 先以二阶系统为例，其微分方程为：  y  + a1 y  + a2 y = b0 u  + b1 u  + b2 u （2-4-1） 若仍取x1＝y，x2＝y’作为状态变量，则状态方程为 x a x a x b u b u b u x x 2 2 1 1 2 0 1 2 1 2 = − − + + + =     控制矩阵B无法表示，需选择新的状态变量

若要求得到的状态方程和41+a2y=b4+b1i+b2 时凵A「H」/L x1=x2+B1 (1) 2 a2x1-a1x2+B2(2)Lx2 J (3)y= 可将(3)式化为 y-β0 代入第一式:j-βi=x2+B1u, 可导出:x2=j-Bi-B1u, 代入第二式:x2=j一P1i-B1i -a24(y-B)-a(y-B6i-B1)+2u

若要求得到的状态方程和输出方程的形式为 (3) (2) (1) 1 0 2 2 1 1 2 2 1 2 1 y x u x a x a x u x x u    = + = − − + = +   可将（3）式化为 , x1 = y −0 u , 代入第一式： y  −0 u  = x2 + 1 u 可导出： , x2 = y  −0 u  −1 u 代入第二式： x   y  u  u  2 = −0 −1 = −a2 ( y −0 u)− a1 ( y  −0 u  −1 u)+ 2 u  y  + a1 y  + a2 y = b0 u  + b1 u  + b2 u   u x x y u x x x a a x     +      =        +            − −  =         2 1 2 1 2 2 1 1 1 0 0 1  