黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（习题库）练习3-1

练习3-1 1.验证罗尔定理对函数 v=In sinx在区间[,5]上的正确性 2.验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2+x-2在区间[0,1 上的正确性 3.对函数fx)=inx及F(x)=x+cosx在区间[,]上验证柯西 中值定理的正确性 4.试证明对函数y=px2+qx+r应用拉格朗日中值定理时所求 得的点5总是位于区间的正中间 5.不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)x-4)的导数,说明方程 f(x)=0有几个实根,并指出它们所在的区间

练习 3-1

6.证明恒等式: arcsinx+ arccos=z(-1x≤1) 7.若方程aa"+ax+…+an-1x=0有一个正根xo,证明方程 aonx"+a1(m-1)x+…+an-1=0 必有一个小于xo的正根 8.若函数fx)在(a,b)内具有二阶导数,且f(x1)=x2)=f(x3),其 中ab>0,m1,证明:mb(a-b)b>0,证明:a-bex

12.证明方程x5+x-1-0只有一个正根 13.设f(x)、g(x)在[a,b上连续,在(a,b)内可导,证明在(a,b) 内有一点,使 g(a)g(b)=(b-a)/(a)f(5 g(a)g(5) 14.证明:若函数f(x)在(-∞,+∞)内满足关系式f(x)=f(x),且 f(0=1则f(x)=e 15.设函数y(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且 f(0)f(0)=……=f=0)=0,试用柯西中值定理证明 f(x)f(m时(0<6<1)

练习3-2 1.用洛必达法则求下列极限: (1)li n(+x) x-)0 (2)lim=.e-r x→)0Sinx (3)lim sInx-sina (4)lim In 3x x→ztan5x (5)lim In sinx xx(-2x)2

练习 3-2

(6)lim (7)lim In tan7x x→+0 In tan2x (8)lim tanx x→ t tan 3x ln(1+ 9)lim x→+∞ arc cotx (10)lim n(+x2) x→0secx-coSx (1)lim xcot 2x; (12)limx2ex2

(3)lim( I x (14)lim(1+)x; (15) lim sinx x→)+0 (16)lim ()tanx 2.验证极限limx+snx存在,但不能用洛必达法则得出 3.验证极限lim—.X存在,但不能用洛必达法则得出 x→0Sinx

1+x)21 4.讨论函数f(x)=c x>0 在点x=0处的连续性 x≤0

练习3-3 1.按(x4)的幂展开多项式x4-5x3+x2-3x+4 2.应用麦克劳林公式,按x幂展开函数fx)(x2-3x+1)3 3.求函数f(x)=√x按(x-4)的幂展开的带有拉格朗日型余项 的3阶泰勒公式 4.求函数f(x)=nx按(x-2)幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式 5.求函数f(x)=按(x+1)的幂展开的带有拉格朗日型余项 的n阶泰勒公式 6.求函数∫x)=tanx的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公 式

练习 3-3

7.求函数f(x)=xe的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式 8.验证当0≤x≤1时,按公式ex≈1+x+x+x计算e的近似值 时,所产生的误差小于0.01,并求√e的近似值,使误差小于001 9.应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值,并估计误差: (1)330 (2)sinl8°. 10.利用泰勒公式求下列极限 (l)lim(x3+3x2-x4-2x3) x→+0 (2)lim cosr-e x→0x2[x+n(1-x)

1+1x2-√1+x ()lim x→0(cosx-e)sinx