黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（习题库）练习11-4

练习11-4 1.求函数fx)=cosx的泰勒级数,并验证它在整个数轴上收敛 于这函数 2.将下列函数展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间 (1)shx (2n(a+x)a>0) (4)sinx: (5)(1+x)n(Hx) 6) 3.将下列函数展开成(x-1)的幂级数,并求展开式成立的区间: (2)lgx 4.将函数f(x)=cosx展开成(x+x)的幂级数 5.将函数f(x)=1展开成x-3)幂级数 6.将函数f(x=x2+3x+2展开成(+4)的幂级数 练习11-5 1.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值: (1)n3(差不超过00001

练习 11-4 练习 11-5

(2)√e(误差不超过0001) (3)522(误差不超过00000 (4)b>0). ax0≤x<丌 2.将下列函数f(x)展开成傅里叶级数: (1)f(x)=2sinx(xs≤m; x≤x<0 (2)f(x)=10≤x≤z 3.设周期函数f(x)的周期为2z,证明f(x)傅里叶系数为 bo f(r)cosnxdx(n=0. 1,2 z Jo f(xsin ndx (n=1, 2 4.将函数f(x)=cos(-msx≤展开成傅里叶级数:

练习 11-7

5.设f(x)的周期为2m的周期函数,它在[-x,z)上的表达式这 2Sx<-T f(x)=x ≤x< zx≤x<丌 将fx)展开成傅里叶级数 6.将函数f(x)=x-x(0×x≤n)展开成正弦级数 将函数(x)=2x(0×x≤x)分别展开成正弦级数和余弦级数 8.设周期函数f(x)的周期为2z,证明 (1)如果f(x-x)=-fx),则f(x)的傅里叶系数a0=0,a2k=0,b2k=0 (k=1,2,…); (2)如果fx-z)=f(x),则f(x)的傅里叶系数a2k1=0,b2k+1=0 (k=1,2,…). 练习11-8 1.将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在 个周期内的表达式) (1)f(x)=1-x(-≤x<) x-1<x<0 (2)f(x)={10≤x< 2 1<x<1 (3)f(x) 2x+1-3≤x<0 0<x<3 2.将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数 0<x< (1)f(x)= l-x≤x≤l

练习 11-8

(2)(x)=x(O≤x≤2) 总习题十 1.填空 (1)对级数∑un,limn=0是它收敛的 条件,不是它 收敛的 条件 (2)部分和数列n}有界是正项级数∑n收敛的条件; (3)若级数∑n绝对收敛,则级数∑n必定 若级数 ∑n条件收敛,则级数∑nl必定 2.判定下列级数的收敛性 (1) 台m (2) n n cos (3)∑ 1n10 (5∑";(a>0,s0 3.设正项级数∑n和∑vn都收敛,证明级数∑(n+v1)2与 收敛

总习题十一

设级数∑n收敛,且lim=1,问级数∑v是否也收 敛?试说明理由 5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性 (1)∑(-1)y sIn (2)∑(-1)y+-n+ (3)∑(-yn n=1 n (n+1) n+1 6.求下列级限: (lin11+1y2 n→00n 11 (2)lim[23.49.827…(2")3]. n→) 7.求下列幂级数的收敛域 (1)∑ 2+ (3)∑mx+y; 8.求下列幂级数的和函数 (22nx0n0 2

(3)∑n(x-1y; n(n+1 9.求下列数项级数的和 ()2()a2+ 10.将下列函数展开成x的幂级数: (1)hn(x+√x2+1); 11.设f(x)是周期为2m的函数,它在[-,)上的表达式为 f(r) 0x∈[-x,0) exx∈[O,z) 将fx)展开成傅里叶级数 12.将函数 f(x)= 0<x≤h 0h<x≤丌 分别展开成正弦级数和余弦级数