黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（习题库）练习8-4

练习8-4 设 2=l 而 uEr+ yv=x-,求az 2.设=n3m,而n=x,v=3x-2y,求,空 3.设23,而x=sin,y=t,求血 设z= arcsin-y),而x+3,y=42,求 dt 5.设 z=arctan(y),而y=e,求出 dx 6.设n=(y-2),而 y=asin,=cosx,求 7.设z= arctan,而x=+v,y=n-,验证2+2 Ou ov u'+y 8.求下列函数的一阶偏导数(其中f具有一阶连续偏导数) 1)v=(x2-y2,e); (2)u=f( ,2); ()u=f(r, xy, xyz) 9.设z=y+xF(u),而u=2,F(u)为可导函数,证明xa+,22=z+xy 10.设 其中a)为可导函数,验证12+12=2 x ax 1.设=(+1),其中/具有二阶导数求,岛 a2 12.求下列函数的 32,2,的(其中门具有二阶连续偏导数 ax2 Oxy ay (1)z=f(ry, y)

练习 8-4

(2)z=f(x,-); (3)2=f(xy2,x3y); (4)z=f(sinx, cosy, e t) 13.设n=(,y)的所有二阶偏导数连续,而x==、3,y=3s+,证明 au)+ du - au+(du 2u+au-au+a-u 练习8-5 1.设si+-xy2=0,求 2.设ln√x2+y2= arctan2,求 3.设x+2y+z-2xgz=0,求及空 4.设=ln2,求及 az 5.设2in+2y-3z)x+2y3,证明+ 6.设x=(,2z,yy(x,z,z=z(x,y)都是由方程F(x,y,z)-0所确定的 具有连续偏导数的函数,证明g2=-1 7.设《(u,v)具有连续偏导数,证明由方程c(x-az,cy-bz)-0 所确定的函数2(y满足a+b= 8.设e-xyz=0,求2 9.设z2-3z=a3,求 oro 10.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:

练习 8-5

求 +2y2+3z2=20dx’dx (2)设 +y+z=0 求 dx dy z2=1’dz'dz (3)设=/x,+y) "=g(a-x,p21,其中g具有一阶连续偏导数,求业,c x=etusinvy 4)设 求 y=e"- uCOS'ax’oy'ax’oy 11.设y=f(x,D),而t是由方程F(x,y,t)=0所确定的x,y的函数 其中∫,F都具有一阶连续偏导数,试证明: of aF af aF ax atat ax dx af aF, aF Or 练习8-6 1.求曲线x=+sin,y=1-cost,z=4sin在点(x-1,22)处的切线及法平 面方程 2.求曲线x=,,y=1+1,=2在对应于t=1的点处的切线及法平面方程 3.求曲线y2=2mx,2=m-x在点(x0,y,2)处的切线及法平面方程 4.求曲线 +z2-3x=0 2x-3y+5z-4=0 在点(1,1,1)处的切线及法平面方程 5.求出曲线x=,y=t2,2=3上的点,使在该点的切线平行于平面x+2y+2=4 6.求曲面e2-2+xy=3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程 7.求曲面ax2+by2+cz2=1在点(x0,,20)处的切平面及法线方程 8.求椭球面x2+2y2+2=1上平行于平面x-y+2z=0的切平面方程 9.求旋转椭球面3x2+y2+2=16上点(1,-2,3)处的切平面与xOy面的夹角 的余弦

练习 8-6

10.试证曲面√x+√y+√z=va(a>0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截 距之和等于a