黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（习题库）练习12-1

练习12-1 试说出下列各微分方程的阶数 (1)x(y)2-2y+x=0; 解一阶 (2)x2y-xy+y=0 解一阶 (3)xy"+2y+x2y=0; 解三阶 (4)(7x-6y)dhx+(x+y)d=0:

练习 12-1

解一阶 (5)L g+9=0 解二阶 (6)%+p=sin26 解一阶 2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解 (1)xy'=2y,y5 解y=10x 因为xy′=10x2=2(5x2)=2y,所以y=5x2是所给微分方程的解

(2)y'+y=0, y=3sin.x-4cosx 解y=3cosx+4sinx 因为y2+y=3cosx+4sinx+3sinx-4cosx=7sinx=cosx≠0, 所以y=3sinx-4cosx不是所给微分方程的解 (3y"-2y2+y=0,yxe; 解y=2xe+x2e, 2e+2xe+2xe+x e=2e+4re+re 因为y-2y+y=2e2+4xe+x2e-2(2e+x2)x2e=2e≠0, 所以y=xe不是所给微分方程的解 (4)y-(21+)y+l12y=0,y=Cex+C2ex

解y=C1e4x+C2l2ex, y=Che+C2n2egx 因为y”-(41+22)y2+412 =C12e2x+C2e2x-(1+2C1ex+C22e2)+12(Ce+C2e3x) 所以y=Ce4x+C2ex是所给微分方程的解 3.在下列各题中,验证所给二元方程所确定的函数为所给微 分方程的解: (1)(x-2y)y=2x-y,x2-xy+y=C;

解将x2-xy+y2=C的两边对x求导得 2x-y-xy2+2yy=0, 即(x-2y)y=2x-y 所以由x2-x+y2=C所确定的函数是所给微分方程的解 (2)(cy-xy+xy+yy'-2y=0, y=In(cy)

解将y=ln(y)的两边对x求导得 即 rv-r 再次求导得 - V(xy-x-yv+xy-D_=y2+y (-xy2-y2+y) 注意到由y=1+1y可得xy=xy-1,所以 x) y"=-1[-(xy-1)y-y+y]=-(-xy2-yy2+2y) 从而(xy-x)y+xy2+yy-2y=0, 即由y=ln(y)所确定的函数是所给微分方程的解 4.在下列各题中,确定函数关系式中所含的参数,使函数满足 所给的初始条件 (1)x2-y2=C,yx0

解由yk0=0得02-53=C,C=-25,故x2-y2=25. (2)=(C1+C2x)e-,ykx0=0,yx0=1 解y=C2e+2(C1+C2x)e 由yx0=0,yx0=1得 解之得C1=0,C2=1,故y=re2x ()y=CIsin(-C2, yk==l, yk==0

解y= ICos(x=C2) 由yk=a=1,yk=x=0得 Csin(r-C2) 即 Csin C2=l C, COS(T-C2)=0 I-C cos C2=0 解之得C1=1,C2=,故 v=sIn(x 2),即y==cosx 5.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程: (1)曲线在点(x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方; 解设曲线为=y(x),则曲线上点(x,y)处的切线斜率为y 由条件y=x2,这便是所求微分方程 (2)曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被 y轴平分

解设曲线为y=(x),则曲线上点Px,y)处的法线斜率为-1 由条件第PQ中点的横坐标为0,所以Q点的坐标为(-x,0),从而有 即yy2+2x=0 r+x 6.用微分方程表示一物理命题:某种气体的气压P对于温度T 的变化率与气压成正比,所温度的平方成反比 解业=kP.其中k为比例系数 dT T 练习12-2 1.求下列微分方程的通解 (1)xy'-yIny=0

练习 12-2

解分离变量得 dy=-dx In 两边积分得 d In 即hn(m)=lnx+lnC, 故通解为y=e (2)3x2+5x-5y′=0