大学物理：《理论力学》课程教学资源（PPT课件）第四章 非线性振动 §4.6 非线性受迫振动中一些重要现象

54-6非线性受迫振动中一些重要现象 1.出现驱动力频率的谐频和组合频率 x+oo x+ax=Acos o,t Bcoso,t 描述人耳这个非线性系统对外界的响应,两个外界强 迫力代表两种频率的声音 用微扰法进行求解,得出的解表明:在精确到一级 的解中振动频率不仅有和0而且有谐频和 组合颛率2和如果遄2步求二级解还会有 其他组合频率,但以这些附加频率振动的振幅则更小 所以人耳感受到声音比较丰富尤其这一差频音 是比较易觉察的悦耳的低音

§4-6 非线性受迫振动中一些重要现象 1.出现驱动力频率的谐频和组合频率 x x x A t B t 1 2 2 2 0  + + = cos + cos 描述人耳这个非线性系统对外界的响应, 两个外界强 迫力代表两种频率的声音. 用微扰法进行求解, 得出的解表明: 在精确到一级 的解中, 振动频率不仅有 和 而且有谐频 和 组合频率 和 . 如果进一步求二级解, 还会有 其他组合频率, 但以这些附加频率振动的振幅则更小. 所以人耳感受到声音比较丰富, 尤其 这一差频音 是比较易觉察的悦耳的低音. 1 ,  2 1 2 2 2 ,  1 +2 1 −2 1 −2

54-6非线性受迫振动中一些重要现象 自20世纪60年代出现激光器以来,非线性光学得到 迅速发展利用光的倍频(即谐频和混频(即组合频率) 技术可以用现在技术上已比较成熟、输出功率又很 高的激光器刨造我们需要的各种频率的激光 2在一定条件下会产生次谐频 元+a2x-x3= Bcos at 102 设试探解为 x=Ccos ot +Dcos-t 3 出现了频率为驱动力频率分数倍的振动称为次谐频 次谐频是一个重要现象,如果过程的机制不同,能相 继出现ω/2等次谐频;相当于现周期的倍增长, 这是通向混沌现象的重要道路之

§4-6 非线性受迫振动中一些重要现象 2.在一定条件下会产生次谐频 自20世纪60年代出现激光器以来, 非线性光学得到 迅速发展. 利用光的倍频(即谐频)和混频(即组合频率) 技术, 可以用现在技术上已比较成熟、 输出功率又很 高的激光器创造我们需要的各种频率的激光. x  x x Bcost 2 3  + 0 − = 设试探解为 x C t D t 3 cos cos  =  + 出现了频率为驱动力频率分数倍的振动, 称为次谐频. 次谐频是一个重要现象, 如果过程的机制不同, 能相 继出现 等次谐频, 相当于现周期的倍增长, 这是通向混沌现象的重要道路之一.  2, 4, 8, 

54-6非线性受迫振动中一些重要现象 D(0-0)-E(D32+CD+2C2)|=0 A 2 = E(D+CD+2C) 9 4 1「16 D= (902-02)-7C2 2227E 16 2(90n=o2)≥72

§4-6 非线性受迫振动中一些重要现象 ( 2 ) 0 4 3 ) 9 ( 2 2 2 2 0  =      D − −  D +CD + C   ( 2 ) 4 3 9 2 2 2 2 0 − =  D + CD + C   1 2 2 2 2 (9 0 ) 7 27 16 2 1 2       = −  − − C C D    2 2 2 (9 0 ) 7 27 16  −  C 

54-6非线性受迫振动中一些重要现象 218C Q≤3, E>0 16 2218C2 O≥31{0a2+ E<0 16 次谐频现象是域值现象而谐频和组合频率的产生无 城值问题 3.振幅对频率的响应出现跳跃现象 振幅对频率依赖关系不再是单值的.与和对D 应状态是稳定的因而能在实际中实现;而段对应状 态是不稳定的,则在实际中不能实现

§4-6 非线性受迫振动中一些重要现象 16 21 3 2 2 0 C    − 16 21 3 2 2 0 C    +   0   0 次谐频现象是域值现象, 而谐频和组合频率的产生无 域值问题. 3.振幅对频率的响应出现跳跃现象 振幅对频率依赖关系不再是单值的. 与 和 段对 应状态是稳定的, 因而能在实际中实现; 而 段对应状 态是不稳定的, 则在实际中不能实现. AB CD BD

54-6非线性受迫振动中一些重要现象 B M N 4锁模现象 锁频、锁相、同步,是非线性振动中一个非常重 要的现象

§4-6 非线性受迫振动中一些重要现象 4.锁模现象 锁频、 锁相、 同步, 是非线性振动中一个非常重 要的现象

54-6非线性受迫振动中一些重要现象 当一个频率为的脤动与另一个频率为的振动合成 时若为数,则合振动为非周期振动其轨线永 不闭合有时可称为准周期运动)但当接近某一q 理数时,合成振动将一下变成周期运动轨线成为一条 闭合曲线.三 这一现象有助于我们理解在混沌现象中当参数改变 时,混沌运动有可能转变为周期运动,再改变参数时, 周期运动又转变为混沌运动

§4-6 非线性受迫振动中一些重要现象 当一个频率为 的振动与另一个频率为 的振动合成 时, 若 为无理数, 则合振动为非周期振动, 其轨线永 不闭合(有时可称为准周期运动). 但当 接近某一有 理数时, 合成振动将一下变成周期运动, 轨线成为一条 闭合曲线. p q p q p q 这一现象有助于我们理解在混沌现象中当参数改变 时, 混沌运动有可能转变为周期运动, 再改变参数时, 周期运动又转变为混沌运动