大学物理：《理论力学》课程教学资源（PPT课件）第一章 质点运动学 §1.5 质点运动的自然坐标描述

51-5质点运动的自然坐标描述 利用质点运动轨道本身的几何特性(如切线、法 线方向等)来描述质点的运动这种方法称为自然坐 标法 1.弧长方程 在轨道上取一点作原点规定沿轨道的某一方向 为弧长的正方向,质点位置可由原点到质点间的 段弧长来确称为弧坐标 s=st 弧长方程和轨道方程一起 与质点的运动学方程等价 弧坐标为可正可负的标量与恒正的路程是不同的

§1-5 质点运动的自然坐标描述 利用质点运动轨道本身的几何特性 (如切线、法 线方向等)来描述质点的运动. 这种方法称为自然坐 标法. 1. 弧长方程 s = s(t) 弧长方程和轨道方程一起 与质点的运动学方程等价. 弧坐标为可正可负的标量,与恒正的路程是不同的. O O s s 在轨道上取一点 作原点, 规定沿轨道的某一方向 为弧长的正方向, 质点位置可由原点 到质点间的一 段弧长 来确定, 称为弧坐标

51-5质点运动的自然坐标描述 切线2 2.相关的微分几何知识 切线1 切线、切向、密切面、曲率 员、曲率中心、曲率半径、 P 曲率、法线、法平面、主法 线、副法线 当轨道为平面曲线时, 曲率圆 可利用数学分析中的公式来 求曲率及曲率半径 密切面 d v/dx K +(yd) 2F2 O

§1-5 质点运动的自然坐标描述 2. 相关的微分几何知识 当轨道为平面曲线时, 可利用数学分析中的公式来 求曲率及曲率半径.   3 2 2 2 2 1 (d d ) 1 d d y x y x + = =   切线、切向、密切面、曲率 圆、曲率中心、曲率半径、 曲率、法线、法平面、主法 线、副法线 b t n e e e    = 

51-5质点运动的自然坐标描述 3速度和加速度表达式 速度v=e S t t du d 加速度a dt di dop ae e(+d( set s dt PP=S/p de.1·d dt

§1-5 质点运动的自然坐标描述 3. 速度和加速度表达式 速度 t t t v v e se     = = ds = d   = s   = vt  n n n t d 1 d d d e s e e t t e          = =  = 加速度 ( ) d d d d t se t t v a     = = t e se s d d t t    =  +

51-5质点运动的自然坐标描述 切向加速度 法向加速度 2 a= se f-e 在自然坐标描述中,需要已知质点运动的轨道,而对 轨道的数学描述又需要一个坐标系,所以必须掌握自 然坐标描述中的物理量与其他坐标系中的物理量之间 的联系.建立这个联系的基本依据是:速度和加速度 在不同的描述方法中有不同的表达形式但它们的大 小和方向是惟一确定的

§1-5 质点运动的自然坐标描述 n 2 t e s a se       = + 切向加速度 法向加速度 在自然坐标描述中, 需要已知质点运动的轨道, 而对 轨道的数学描述又需要一个坐标系, 所以必须掌握自 然坐标描述中的物理量与其他坐标系中的物理量之间 的联系. 建立这个联系的基本依据是: 速度 和加速度 在不同的描述方法中有不同的表达形式, 但它们的大 小和方向是惟一确定的. v  a 

15质点运动的自然坐标描述 例题1 建立极坐标系求解 运动学方程 r=2RcoS(ot+8) o 0=ot +e 轨道方程r=2Rcos0 速度和加速度为 v=re+reee -2Rasin( at +Bo)e+ 2Rocos(at+8o)ee

§1-5 质点运动的自然坐标描述 例题1 建立极坐标系求解 2 cos( ) =  +0 r R t  = + 0 t 运动学方程 轨道方程 r = 2Rcos 速度和加速度为   v re r e r      = +        R t e R t e r   2 sin( ) 2 cos( ) = − + 0 + + 0

15质点运动的自然坐标描述 d=(-r62)e,+(r+2i0)e A -4Ro cos(at +60e-4Ro sin( at+0o)ee 用自然坐标法求解 s=2R(o+60 速度和加速度为 v=se= aro a=se,+(s2 p)e,=4Ro'e

§1-5 质点运动的自然坐标描述     a r r e r r e r         ( ) ( 2 ) 2 = − + +        R t e R t e r   4 cos( ) 4 sin( ) 0 2 0 2 = − + − + 用自然坐标法求解 2 ( ) =  + 0 s R t 速度和加速度为 t 2 t v se R e     = =  n 2 n 2 a set (s )e 4R e       = +  = 

15质点运动的自然坐标描述 自然坐标描述并不是自然坐标系中的描述 本例题也可用直角坐标系求解 (1)不同方法中v表达式不同,但它们对描述点运动 是等价的 (2)不同方法中v的大小和 A 方向是惟一确定的 C 0|20 例题2 =0 j+r202=c sin 0

§1-5 质点运动的自然坐标描述 自然坐标描述并不是自然坐标系中的描述 本例题也可用直角坐标系求解 (1)不同方法中 表达式不同, 但它们对描述 点运动 是等价的; v a   , P 例题2  = 0  2 2 2 2 r + r  = c   v a   (2)不同方法中 , 的大小和 方向是惟一确定的

15质点运动的自然坐标描述 运动学方程 轨道方程 C C r=±Sm0t r=±snb 例题3 R V=M+刀+02 ho -Rosin ati+ Rocos oti+k 2丌 B +y+纸 Ro cos ati -Ro sin at

§1-5 质点运动的自然坐标描述 例题3      = =  t t c r 0 0 0 sin     运动学方程 轨道方程   sin 0 c r =  v xi yj zk        = + + k h R ti R tj          2 = − sin + cos + a xi yj zk        = + + R ti R tj    cos  sin  2 2 = − −

51-5质点运动的自然坐标描述 v=√x2+j2+2=0√R2+(h2/4n2)=常量 MAL 切向加速度a.==0 法向加速度 an=a=√x2+12+2=Ro2 2_ok2+(h24x) h = R+ Ro 4兀2R

§1-5 质点运动的自然坐标描述 = + + = + ( 4π ) = 2 2 2 2 2 2 v x y z  R h 常量 法向加速度 at = v  t = 0 an = a 切向加速度 2 2 2 2 an = a = x + y + z = R   R h R R R h a v 2 2 2 2 2 2 2 n 2 4π ( 4π ) = + + = =   