大学物理：《理论力学》课程教学资源（PPT课件）第四章 非线性振动 §4.3 相平面法

54-3相平面法 相平面法是一种直观的几何方法它适用于描述 系统的一维运动以位置、速度为坐标建立坐标系, 通常称此坐标平面为相平面(广义相平面)相平面中 任一点代表该时刻系统的运动状态称为相点相点 连续变化形成的轨道则描述了系统的运动过程称 为相轨道(简称轨线)这种图形也称相图. 1.相轨道方程 自治系统 元=f(x,x) 非自治系统 元=f"(x,,) f(

§4-3 相平面法 1.相轨道方程 相平面法是一种直观的几何方法, 它适用于描述 系统的一维运动. 以位置、速度为坐标建立坐标系, 通常称此坐标平面为相平面(广义相平面).相平面中 任一点代表该时刻系统的运动状态, 称为相点. 相点 连续变化形成的轨道则描述了系统的运动过程, 称 为相轨道(简称轨线), 这种图形也称相图.  x  = f (x, x ) 自治系统  x  = f '(x, x  ,t) 非自治系统    = = y f (x, y) x y  

54-3相平面法 dy f(x, y) E dx/yAL 相轨道方程 O 4元 2轨线的作法 对保守系统可 利用势能曲线作 相图 2T 2T

2.轨线的作法 §4-3 相平面法 y f x y x y ( , ) d d = 相轨道方程 对保守系统, 可 利用势能曲线作 相图

54-3相平面法 x=y y=f(,y)=- dk dx 1 能量守恒2 y+7(x)=E 单位质量的动能x=y=±√2(E-(x) 例题1 mx+=kx=e

§4-3 相平面法 单位质量的动能 x  = y =  2(E −V(x))      = = − = x V y f x y x y d d  ( , )  能量守恒 y +V (x) = E 2 1 2 例题1 mx + k x = E 2 2 2 1 2 1 

54-3相平面法 x x 2 2EU 2E VVm)(k 例题2 ax dt 26y x dt

§4-3 相平面法 1 2 2 2 2 2 2 =         +         k E x m E x 例题2        = − − = y x t y y t x 2 2 0 d d d d  

54-3相平面法 3.轨线的普遍性质 (1)对于自治系统轨线不随时间改变,互不相交 若相轨道是一条闭合曲线则系统做周期运动 (2)轨线的方向即相点沿轨线运动的方向,由相点位 置确定,上半部向右,下半部向左 (3)(x,是相点运动速度矢量的两个分量对于保守 系统 y=f(r,y)= dⅳ=V·=-+ 0

§4-3 相平面法 3.轨线的普遍性质 （1）对于自治系统, 轨线不随时间改变, 互不相交. 若相轨道是一条闭合曲线, 则系统做周期运动. （2）轨线的方向即相点沿轨线运动的方向, 由相点位 置确定, 上半部向右，下半部向左. （3） 是相点运动速度矢量 的两个分量.对于保守 系统 (x  , y ) v       = = − = x V y f x y x y d d  ( , )  div = 0   +   =  = y y x x v v    

54-3相平面法 阻尼振动/s a MAL a div v=o+ Oy=2β dy 2By-Oox dt 4奇点及其附近的轨线 在相平面上满足x=的点称为奇点对此点有 即相轨道方向是不确定的 从力学角度看奇点即平衡点表明系统处于平衡态, 故又称不动点 对于保守系统奇点有3种类型分别与势能曲线的 极大点、极小点和拐点3种情况对应常见的是中心和 鞍点

§4-3 相平面法 阻尼振动        = − − = y x t y y t x 2 0 2 d d d d   div = −2   +   = y y x x v    4.奇点及其附近的轨线 在相平面上, 满足 x  = 的点称为奇点 0, y  = 0 , 对此点有 即相轨道方向是不确定的 dy dx = 0 0, . 从力学角度看, 奇点即平衡点, 表明系统处于平衡态, 故又称不动点. 对于保守系统, 奇点有3种类型,分别与势能曲线的 极大点、极小点和拐点3种情况对应.常见的是中心 和 鞍点

54-3相平面法 中心 鞍点

§ 4 -3 相平面法 中心 鞍点