大学物理：《理论力学》课程教学资源（PPT课件）第七章 分析力学的变分原理 §7.1 约束的分类、广义坐标

第七章分析力学的变分原理 第七章分析力学的变分原理 约束的分类广义坐标 虛位移和虚功理想约束 虚功原理 哈密顿原理

第七章 分析力学的变分原理 • 约束的分类 广义坐标 • 虚位移和虚功 理想约束 • 虚功原理 • 哈密顿原理 第七章 分析力学的变分原理

§71约束的分类广义坐标 约束方程 由约束物体预先给定的对力学系统运动的限制叫做约束 MAL v=0 x 初始条件和受力决 约束物:铁丝 定轨迹是直线 限制:x=0,z=0 限制包括对位置和对速度的限制 设系统由n个质点组成,以xnyz表示第个质点的坐标则 约束方程为 f(x12y2,=1,x,,,1)=0

§7-1 约束的分类 广义坐标 一、 约束方程 由约束物体预先给定的对力学系统运动的限制叫做约束. v = 0  mg  初始条件和受力决 定轨迹是直线 约束物：铁丝 限制：x = 0,z = 0 O y x 限制包括对位置和对速度的限制. 设系统由n个质点组成, 以xi , yi , zi 表示第i个质点的坐标, 则 约束方程为 f (xi , yi ,zi , x  i , y  i ,z  i ,t) = 0 i = 1,2,...,n

§71约束的分类广义坐标 (1)球面摆的约束,OM为刚性轻杆 2 设点为直角坐标原点,则质点O 的坐标方程满足 x+)x、2n2 72=0 若O点不固定,在方向有一恒定 速率,t=0时O点处于坐标原点,则 约束方程为 (x-1)+y2+2-2=0 若刚性轻杆换成柔软轻绳(绳长仍为l,不可伸长) 则约束方程为 O点固定x2+y2+2-1≤0 O点不固定(x-1)+y2+2-2≤0

§7-1 约束的分类 广义坐标 （1）球面摆的约束，OM为刚性轻杆 O M m l x y z 设O点为直角坐标原点，则质点 m的坐标方程满足 0 2 2 2 2 x + y + z −l = 若O点不固定，在x方向有一恒定 速率v，t＝0时O点处于坐标原点，则 约束方程为 ( ) 0 2 2 2 2 x − v t + y + z −l = 若刚性轻杆换成柔软轻绳（绳长仍为l，不可伸长）， 则约束方程为 O点固定 O点不固定 0 2 2 2 2 x + y + z −l  ( ) 0 2 2 2 2 x − v t + y + z −l 

§71约束的分类广义坐标 (2)半径为R的车轮沿水平直线轨道做无滑滚动,约束 方程表示为 MAL R=0 在一定初始条件下积分可得 R R=0 两组约束方程分别表明了地面对车轮的位置和速度的 限制

§7-1 约束的分类 广义坐标 （2）半径为R的车轮沿水平直线轨道做无滑滚动, 约束 方程表示为    − = = 0 0    x R y c c 在一定初始条件下积分可得    − = = x R 0 y R c c 两组约束方程分别表明了地面对车轮的位置和速度的 限制

§71约束的分类广义坐标 (3)在水平冰面上滑行的冰鞋上装有冰刀,冰面对冰刀横向 运动的限制使冰刀质心的速度方向只能沿着冰刀的纵向 以冰刀的质心坐标x,y和转角 作为冰刀的位置坐标则冰刀的 C, 约束方程为 cot 上式还可写成dx,= cot dy 由于cot与y的函数关系不能确定,所以不可积分

§7-1 约束的分类 广义坐标 (3) 在水平冰面上滑行的冰鞋上装有冰刀, 冰面对冰刀横向 运动的限制使冰刀质心的速度方向只能沿着冰刀的纵向. 以冰刀的质心坐标xc , yc和转角 作为冰刀的位置坐标, 则冰刀的 约束方程为 = cot c c y x   上式还可写成 c c dx = cotdy 由于cot与yc的函数关系不能确定, 所以不可积分

§71约束的分类广义坐标 二、约束的分类 1完整约束(几何约束)和非完整约束(微分约束) 约束方程仅含质点的坐标和时间的约束称为完整约束 约束方程形式为f(x1,y2E1)=0 如果约束方程不仅包含质点的坐标还包含坐标对时间 的导数或坐标的微分,而且不能通过积分使之转化为仅 包含坐标和时间的完整约束方程则这种约束称为非完 整约束其约束方程形式为 f(x1,y2,,1E11)=0 不受非完整约束的系统称为完整系∠本教材只研究

§7-1 约束的分类 广义坐标 二、约束的分类 1. 完整约束（几何约束）和非完整约束（微分约束） 约束方程仅含质点的坐标和时间的约束称为完整约束. 约束方程形式为 f (xi , yi, zi ,t) = 0 如果约束方程不仅包含质点的坐标, 还包含坐标对时间 的导数或坐标的微分, 而且不能通过积分使之转化为仅 包含坐标和时间的完整约束方程, 则这种约束称为非完 整约束, 其约束方程形式为 f (xi , yi ,zi , x  i , y  i ,z  i ,t) = 0 不受非完整约束的系统称为完整系 本教材只研究

§71约束的分类广义坐标 OM为刚性轻杆 O O点固定x2+y2+2-12=0 完整约束 O点不固定x-v)2+y2+2-12=0 完整约束 OM为柔软不可伸长轻绳 O点固定 x2+y2+z2-12-0 完整约束 0点不固定x-v+y+2 <0 完整约束

§7-1 约束的分类 广义坐标 O M m l x y z OM为刚性轻杆 O点固定 O点不固定 0 2 2 2 2 x + y + z −l = ( ) 0 2 2 2 2 x − v t + y + z −l = 0 2 2 2 2 x + y + z −l  ( ) 0 2 2 2 2 x − v t + y + z −l  O点固定 O点不固定 OM为柔软不可伸长轻绳 完整约束 完整约束 完整约束 完整约束

§71约束的分类广义坐标 0积分「y=R 1-Rb=01x-Ro=0 完整约束一 = cot o dx= cot dy 非完整约束

§7-1 约束的分类 广义坐标 积分    − = = 0 0    x R y c c    − = = x R 0 y R c c 完整约束 = cot c c y x   c c dx = cotdy 非完整约束

§71约束的分类广义坐标 2定常约束(稳定约束和非定常约束(非稳定约束 约束方程中不显含时间的约束称为定常约束 约束方程形式为f(x,y1,x,,)=0 约束方程中显含时间的约束称为非定常约束 约束方程形式为f(x,y,2 i5↓i 3双侧约束(不可解约束和单侧约束(可解约束) 若约束方程是等式这种约束就是双侧约束若约束方程 含有不等式就称为单侧约束 4理想约束和非理想约束根据约束力的性质划分)

§7-1 约束的分类 广义坐标 2. 定常约束(稳定约束)和非定常约束(非稳定约束) 约束方程中不显含时间t的约束称为定常约束 约束方程形式为 f (xi , yi ,zi , x  i , y  i ,z  i ) = 0 约束方程中显含时间t的约束称为非定常约束 约束方程形式为 f (xi , yi ,zi , x  i , y  i ,z  i ,t) = 0 3. 双侧约束(不可解约束)和单侧约束(可解约束) 若约束方程是等式, 这种约束就是双侧约束. 若约束方程 含有不等式, 就称为单侧约束. 4. 理想约束和非理想约束(根据约束力的性质划分)

§71约束的分类广义坐标 OM为刚性轻杆 O O点固定x2+y2+z2-12=0 完整约束定常约束双侧约束 O点不固定(x-)+y2+z2-12=0 完整约束非定常约束双侧约束 OM为柔软不可伸长轻绳 O点固定 x2+y2+z2-1≤0 完整约束定常约束单侧约束 O点不固定(x=)+y2+=2-72s0 完整约束非定常约束单侧约束

§7-1 约束的分类 广义坐标 O M m l x y z OM为刚性轻杆 O点固定 O点不固定 0 2 2 2 2 x + y + z −l = ( ) 0 2 2 2 2 x − v t + y + z −l = 0 2 2 2 2 x + y + z −l  ( ) 0 2 2 2 2 x − v t + y + z −l  O点固定 O点不固定 OM为柔软不可伸长轻绳 完整约束 完整约束 完整约束 完整约束 定常约束 定常约束 非定常约束 非定常约束 双侧约束 双侧约束 单侧约束 单侧约束