南京大学计算机科学与技术系：《数值计算方法》课程教学资源（PPT课件）第4章 函数逼近的插值法与曲线拟和法 4.2 Newton插值公式（2/2）4.3 Hermite 插值

422 Newton插值公式 由差商定义 f(x)-f(o) x X-X →f(x)=f(x)+(x-x0)f[x,x](1) f[x,x]-f[x02x1] X-xI +fIx,xo]=fLo, x]+(x-xifLx xo,x](2)

4.2.2 Newton 插值公式 由差商定义 0 0 0 ( ) ( ) [ , ] f x f x f x x x x − = − 0 0 0  = + − f x f x x x f x x ( ) ( ) ( ) [ , ] (1) 0 0 1 0 1 1 [ , ] [ , ] [ , , ] f x x f x x f x x x x x − = − 0 0 1 1 0 1  = + − f x x f x x x x f x x x [ , ] [ , ] ( ) [ , , ] (2)

(2)式代入(1)式得 f(x)=f(xo)+(x-xo)[xo,xI +(x-x)(x-x1)f[x2x02x1](3) 为了提高精度,增加节点x2’则 [x,x0,x一f[x0,x12x2] X.x. 0:1 X- 得f[x,x02x1]=/x2x1,x]+(x-x2)f[x,x0,x1,x2](4)

[ , , ] [ , , ] ( ) [ , , , ] (4) [ , , , ] [ , , ] [ , , ] ( )( ) [ , , ] (3) ( ) ( ) ( ) [ , ] (2) 1 0 1 0 1 2 2 0 1 2 0 1 2 2 0 1 0 1 2 2 0 1 0 1 0 0 0 1 f x x x f x x x x x f x x x x f x x x x x x f x x x f x x x x x x x x f x x x f x f x x x f x x = + − = − − + − − = + − 得 为了提高精度，增加节点 ，则 式代入（）式得：

(4)式代入(3)式得: f(x)=f(x0)+(x-x0)f[x0,x1]+(x-x)(x-x)f[x,x02x1] +(x-x0(x-x1)(x-x2)[x,x0,x1,x2] 般的,在节点x,x12x2…,xn上有

一般的，在节点 上有 式代入（ ）式得： n x x x x x x x x x x f x x x x f x f x x x f x x x x x x f x x x , , ,..., ( )( )( ) [ , , , ] ( ) ( ) ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ] (4) 3 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 0 0 1 0 1 0 1 + − − − = + − + − −

∫(x)=f(x0)+(x-x)f[x,x]+(x-x0(x-x1)f[x2x12x2] +…+(x-x0)x-x1).(x-xn1)[x0,x +(x-x0(x-x).(x-x21)(x-x)f[x,x0,x1,…xn] =N(+r,(x) 其中Nn(x)、Rn(x)分别为f(x)在节点{x1}上的 Newton 插值公式和余项

插值公式和余项。 其中 ( )、 ( )分别为 ( )在节点{ } 上的Newton ( ) ( ) ( )( )...( )( ) [ , , ,... ] ... ( )( )...( ) [ , ,... ] ( ) ( ) ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ] 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 2 n n n i n n n n n n n N x R x f x x N x R x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x x x f x f x x x f x x x x x x f x x x = + + − − − − + + − − − = + − + − − − − −

可以验证: N,(xo)=f(ro) Nn(x1)=f(x0)+(x1-x0)f[x0,x1] f(x0)+(x1-x0) x X Nn(x2)=f(x0)+(x2-x){[x0,x]+(x2-x1)[x2x1,x2] Wo. nox f(x0)+(x2-x0){[x0,x]+(x2-x1) f(x)+(x2-x0)f[x2x0 f(x0)+(x2 f(x2)-f(x0) f(x2)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] } [ , ] [ , ] ( ) ( ){ [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ){ [ , ] ( ) [ , , ]} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] ( ) ( ) 2 2 0 2 0 0 2 0 0 2 0 2 0 2 1 2 0 0 1 0 2 0 0 1 2 1 2 0 2 0 0 1 2 1 0 1 2 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 f x x x f x f x f x x x f x x x f x x x x f x x f x x f x x x f x x x x N x f x x x f x x x x f x x x f x x x f x f x f x x x N x f x x x f x x N x f x n n n = − − = + − = + − − − = + − + − = + − + − = − − = + − = + − = 可以验证：

类似地可以证明N八(x)=f(x1)(=02,n) 由插值的唯一性知:N(x)≡Ln(x),因此他们的余式也相等 (n+1 即:O(x)f[x,x0,x1,…xn 0(x n l) 故有差商与导数的关系 (n+1) f[x,x0,x1…xn]= n 其中,ξ介于x,x,x1x的最大值与最小值之间

其中， 介于 的最大值与最小值之间。 故有差商与导数的关系 即： 由插值的唯一性知： 因此他们的余式也相等 类似地可以证明 n n n n n n n i i x x x x n f f x x x x x n f x f x x x x N x L x N x f x i n , , ,... 1)! ( ) [ , , ,... ] ( ) 1)! ( ) ( ) [ , , ,... ] ( ) ( ), ( ) ( ) ( 0,1,2,... ) 0 1 ( 1) 0 1 ( 1) 0 1      + = + =  = = + +

重点插商 为使用方便,我们规定 flx,, xo,x, = lim f[x+h,x,xo,xir.,x h->0 x+h,xo,x, x,+fLx,lo,xy,,xn h→0 x 为重点插商

重点插商 为重点插商。 为使用方便，我们规定 [ , , ,..., ] [ , , ,..., ] [ , , ,..., ] [ , , , ,... ] [ , , , ,..., ] 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 lim lim n n n h n h n f x x x x dx d h f x h x x x f x x x x f x x x x x f x h x x x x = + + = = + → →

Newton插值计算 插商表1 x.f(x)一阶插商二阶插商三阶插商单元号 f(x0) f(0) f(x)f[xo,x, f(1) x Do.x. X.Xxx (2) x3 f(x3)fTxo,x,] 51xo 1 g] f[xo, x, 22, x, A3) x,f(x)/】x几xxx)

Newton插值计算 插商表1 一阶插商 二阶插商 三阶插商 单元号 F(0) F(1) F(2) F(3) … … … …… ……… F(n) ( ) k f x ( )0 f x ( )1 f x k x 0 x 1 x 2 x 3 x ( )2 f x ( )3 f x [ , ] 0 1 f x x [ , ] 0 2 f x x [ , ] 0 3 f x x [ , , ] 0 1 2 f x x x [ , , ] 0 1 3 f x x x [ , , , ] 0 1 2 3 f x x x x n x ( ) n f x [ , ] 0 n f x x [ , , ] 0 1 n f x x x [ , , , ] 0 1 2 n f x x x x

插商表2 k f(x)|阶差商 二阶差商 三阶差商 n阶差商 单元号 xo f(ro) F(0) x, f(x,)I f[xo, X,] F(1) f(x)x1,x2]f[x,x1,x2] F(2) x (x f[x1,x2,x3] F(3) x,I f(em) fIrm-I, n]I fIx,-2,m-Is x,]f[x, n n-34n-24n-1n

插商表2 k x ( ) k f x 一阶差商 二阶差商 三阶差商 n 阶差商 单元号 0 x ( )0 f x F(0) 1 x ( )1 f x 0 1 f x x [ , ] F(1) 2 x ( )2 f x 1 2 f x x [ , ] 0 1 2 f x x x [ , , ] F(2) 3 x ( )3 f x 2 3 f x x [ , ] 1 2 3 f x x x [ , , ] F(3) n x ( ) n f x 1 [ , ] n n f x x − 2 1 [ , , ] n n n f x x x − − 3 2 1 [ , , , ] n n n n f x x x x − − − 0 1 [ , , , ] n f x x x  F(n)

求M(x) ■插商表1计算简单,好实现,但数值不稳 定 ■插商表2在计算杋上稳定性好,但算法复 杂 计算M(×)常采用秦九韶程序(取n=4)

求Nn (x) ◼ 插商表1计算简单，好实现，但数值不稳 定。 ◼ 插商表2在计算机上稳定性好，但算法复 杂。 ◼ 计算Nn (x)常采用秦九韶程序（取n=4）