成都信息工程学院：《空间解析几何线性代数》课程电子教案（PPT课件）第七章 向量空间的正交性（7.4）应用实例

§4应用实例 实例一隐性连锁基因问题 实例二最小二乘法

实例一 隐性连锁基因问题 实例二 最小二乘法 §4 应用实例

实例一隐性连锁基因问题 隐性连锁基因是位于ⅹ染色体的基因,例如, 蓝、绿色盲是一种隐性连锁基因.为了描述某地居民 中色盲情况给出的数学模型,需将这些居民分成男性 与女性两类,以x和x2分别表示该地男性与女性居 民人口中具有色盲基因的比例(因色盲基因是隐性的, 色盲基因的实际比例将小于x)·因男性从母亲接 受一个X染色体,故第二代色盲男性的比例x与第 代女性居民的隐性基因比例相等;因女性从父母双 方各接受一个X染色体,第二代具有色盲基因的女性

实例一 隐性连锁基因问题 隐性连锁基因是位于 X 染色体的基因，例如， 蓝、绿色盲是一种隐性连锁基因．为了描述某地居民 中色盲情况给出的数学模型，需将这些居民分成 男性 与女性两类，以 和 (0) 2 x 分别表示该地男性与女性居 民人口中具有色盲基因的比例（因色盲基因是隐性的， 色盲基因的实际比例将小于 (0) 1 x ）．因男性从母亲接 受一个 X 染色体，故第二代色盲男性的比例 (0) 2 x (1) 1 x 与第 一代女性居民的隐性基因比例相等；因女性从父母双 方各接受一个 X 染色体，第二代具有色盲基因的女性

的比例x2应为x1与x2的平均值,故 假定x≠x2,且以下每一代比例不变,将该系统写 成矩阵方程 以A表示系数矩阵,以x=(x,x2)表示在第 n+1代男性与女性居民中色盲基因的比例的列向量

的比例 (1) 2 x 应为 (0) 1 x 与 (0) 2 x 的平均值，故 ( ) ( ) , 1 1 0 2 x = x ( ) ( ) (1) 2 0 2 0 1 2 1 2 1 x + x = x 假定 ( ) (0) 2 0 1 x  x ，且以下每一代比例不变，将该系统写 成矩阵方程 ( ) ( ) ( ) ( )         =                 1 2 1 1 0 2 0 1 2 1 2 1 0 1 x x x x 以 A 表示系数矩阵，以 ( ) ( ) ( ) ( )  = n n n x x 1 2 x , 表示在第 n +1 代男性与女性居民中色盲基因的比 例的列向量

那 (n)=A A的特征值为41=1与2 相应的特征向量为 1=(1)22=(-2,1),因而有 于是 33

那么 ( ) (0) x x n n = A A 的特征值为 1 =1 与 ，相应的特征向量为 2 1 2 = − ( ) ( ) ，因而有   = 1,1 , = − 2,1 1 2 ξ ξ             −          −        − = 3 1 3 1 3 2 3 1 2 1 0 1 0 1 1 1 2 A 于是 ( ) ( ) ( )                    −          −        − = 0 2 0 1 3 1 3 1 3 2 3 1 2 1 0 1 0 1 1 1 2 x x n n x

+2 m x n→)∞ 3(1 +2x 当世代增加时,在男性与女性中具有色盲基因的比例将 趋于相同的值(上述讨论在很长一段时间内没有外来居 民的假定下是合理的).假定男性色盲基因比例是P 那么女性中的比例也是P,因为色盲是隐性的,可以预 计色盲妇女的比例将是P

( ) ( )                              + −      − −        + −      − − = − − 0 2 0 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 3 1 x x n n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )        + + =                 = → 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 ( ) 1 2 2 3 1 1 2 1 2 3 1 lim x x x x x x n n x 当世代增加时，在男性与女性中具有色盲基因的比例将 趋于相同的值（上述讨论在很长一段时间内没有外来居 民的假定下是合理的）．假定男性色盲基因比例是 p 那么女性中的比例 ， 也是 p 计色盲妇女的比例将是 ，因为色盲是隐性的，可以预 2 p ．

实例二最小二乘法 在科学技术的很多领域,往往要从一组实验数据 (x,y)(=1,2…,m)出发,寻找自变量x与因变量y之间 的函数关系y=f(x).由于所观察的数据量大而且带 有误差,所以没有理由要求函数y=f(x)经过所有的 点(x,y).人们关心的是这些数据的变化趋势及其所总 体规律的函数f(x)的方法之一就是最小二乘法,函数 f(x)称为数据(x12y)(i=1,2,m)的拟合函数 设实验数据如下表所示,求拟合函数∫(x)

实例二 最小二乘法 在科学技术的很多领域，往往要从一组实验数据 (x , y ) (i 1,2, ,m) i i =  出发，寻找自变量 x 与因变量 的函数关系 y 之间 y = f (x) ．由于所观察的数据量大而且带 有误差，所以没有理由要求函数 y = f (x) 经过所有的 点 ( , ) i i x y ．人们关心的是这些数据的变化趋势及其所总 体规律的函数 f (x) 的方法之一就是最小二乘法，函数 f (x) 称为数据 (x , y ) (i 1,2, ,m) i i =  的拟合函数． 设实验数据如下表所示，求拟合函数 f (x)

设拟合函数y=f(x)=a+a1x+a2x2+…+anx=∑ 定义关于待定系数ao,a1…,an的误差平方函数 S(a,a12…an)=∑[f(x)-y=∑∑ax-y3 求a,4,…;a,使S(a1a4,4)最A 为求S(a02a12…an)的最小值点

x y 1 x 1 y 2 x 2 y 设拟合函数 … m x m y = = = + + + + = n j j j n n y f ( x ) a a x a x a x a x 0 2 0 1 2  定义关于待定系数 an a ,a ,  , 0 1 的误差平方函数 2 1 1 0 2 0 1 ( , , , ) [ ( ) ] [ ] = = = = − = − m i n j i j j i m i n i i S a a  a f x y a x y 求 a a an , , , 0 1  ，使 ( , , , ) S a0 a1  an 最小 为求 ( , , , ) S a0 a1  an 的最小值点， …

aS 0(k=0,2 于是得关于a32a2…an的方程组(正规方程组) ∑ y Kyp k=1 Xky 解这个方程组,便得a,a…n的值,从而求得拟 函数f(x)

令 0 (k 0,1,2, ,n) a S k = =    于是得关于 a a an , , , 0 1  a a an , , , 0 1  的方程组（正规方程组）                     =                                                    = = = = = + = = + = = = = m k k n k m k k k m k k n m k n k m k n k m k n k m k n k m k k m k k m k n k m k k x y x y y a a a x x x x x x m x x 1 1 1 1 0 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1         解这个方程组，便得 的值，从而求得拟 合函数 f (x)

例如已知一组实验数据如下所示,求它的拟合曲线 3 5 4.5 6 8 9 解设拟合函数 正规方程组为 51555 31.5 555225‖a 108 5225979八a2(429 解之得 7o=3.00004=0.7071,a2=0.1071 所以 f(x)=3+07071x+0.1071x2

例如 已知一组实验数据如下所示，求它的拟合曲线． 1 2 3 4 5 4 4.5 6 8 9 解 设拟合函数 ( ) , 2 0 1 2 f x = a + a x + a x 正规方程组为           =                     429 108 31.5 55 225 979 15 55 225 5 15 55 2 1 0 a a a 解之得 a0 = 3.0000,a1 = 0.7071,a2 = 0.1071 所以 ( ) 3 0.7071 0.1071 . 2 f x = + x + x x y