成都信息工程学院：《空间解析几何线性代数》课程电子教案（PPT课件）第七章 向量空间的正交性（7.2）二次型的标准形

§2二次型的标准形 二次型的标准形 二、用正交变换法化二次型为标准形 三、用拉格朗日配方法化二次型为标准形 四、二次曲面的化简

§2 二次型的标准形 一、二次型的标准形 二、 用正交变换法化二次型为标准形 三、用拉格朗日配方法化二次型为标准形 四、二次曲面的化简

二次型的标准形 设f(x1,x2,…,xn)=kx1+k2x2+…+k,x 那么f(x,x2,…xn)称为二次型的标准形(或法式) 设由变量x,x2…x到变量y1,y2…,y的一个线 性变换为 y1+C12y+…+C1ny (8.5) 十C,2y,+…+C,ny

一、二次型的标准形 设 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 2 2 2 2 2 1 1 n n = k x + k x ++ k x 那么 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 称为二次型的标准形（或法式）． 设由变量 n x , x , , x 1 2  到变量 n y , y , , y 1 2  的一个线 性变换为        = + + + = + + + = + + + n n n n n n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y     1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 （8.５）

那么线性变换(8.5)可写成矩阵形式 X=C 如果C的元素全为实数,那么变换X=Cy称为实 线性变换.这里,我们只考虑实的线性变换(简称线 性变换)·当C为满秩矩阵时,变换ⅹ=Cy称为满秩

记 ，               = n x x x  2 1 x ，               = n y y y  2 1 y ，               = n n nn n n c c c c c c c c c C       1 2 21 22 2 11 12 1 那么线性变换（8.５）可写成矩阵形式 x = Cy 如果 C 的元素全为实数，那么变换 x = Cy 称为实 线性变换．这里，我们只考虑实的线性变换（简称线 性变换）．当 C 为满秩矩阵时，变换 x = Cy 称为满秩

线性变换;当C为正交矩阵时,变换X=Cy称 为正交变换 对于二次型,我们讨论的主要问题是:如何寻 求一个满秩线性变换,使二次型化为只含有平方项 的二次型,从而得到二次型的标准形.当然首先要 考虑的问题是二次型∫=xAx经过满秩线性变换 X=Cy后,其结果是否仍是一个二次型? 定理81任意实二次型f=x4x经过满秩线性 变换X=Cy后仍是一个二次型,并且它的秩不改变 证明把所作的满秩线性变换x=Cy代入二次型

线性变换；当 C 为正交矩阵时，变换 x = Cy 称 为正交变换． 对于二次型，我们讨论的主要问题是：如何寻 求一个满秩线性变换，使二次型化为只含有平方项 的二次型，从而得到二次型的标准形．当然首先要 考虑的问题是二次型 f x Ax 经过满秩线性变换 T = x = Cy 后，其结果是否仍是一个二次型？ 定理8.1 任意实二次型 f x Ax T = 经过满秩线性 变换 x = Cy 后仍是一个二次型，并且它的秩不改变． 证明 把所作的满秩线性变换 x = Cy 代入二次型

中,那么有 f=x' Ax=(Cy)' A (Cy)=y(C aC)y=y By, 其中B=CIAC,且 B=(C AC)=C A(C)=C AC=B 扣B是对称矩阵.由二次型与对称矩阵的一一对 应关系可知,yBy仍是一个二次型 因为C为满秩矩阵,所以有 R(B)=R(C AC)=R(A) 证 定义82对于两个n阶矩阵A与B,如果存在

中，那么有 f = x  Ax = (Cy)  A(Cy) = y  (C  AC)y = y  By， 其中 B = C  AC， 且 B = (C AC) = C A (C ) = C AC = B,         即 B 是对称矩阵．由二次型与对称矩阵的一一对 应关系可知， y By  仍是一个二次型． 因为 C 为满秩矩阵，所以有 R(B) = R(C AC) = R(A)  证毕 定义8.2 对于两个 n 阶矩阵 A 与 B ，如果存在

n阶可逆矩阵C,使得 B=C AC 那么称矩阵A与矩阵B合同 合同是矩阵之间的一种关系.不难验证,矩阵的 合同关系是等价关系 要使二次型f=xAx经过满秩线性变换x=Cy 化成标准形,也就是使 X Ax=y(C AC)y=k,D1+k2y2+.+k,y

n 阶可逆矩阵 C ，使得 B C AC  = 那么称矩阵 A 与矩阵 B 合同． 合同是矩阵之间的一种关系．不难验证，矩阵的 合同关系是等价关系． 要使二次型 f x Ax T = 经过满秩线性变换 x = Cy 化成标准形，也就是使 2 2 2 2 2 1 1 ( ) n n A = C AC = k y + k y + + k y x  x y   y 

这个问题从矩阵的角度来说,就是对于一个实对 称矩阵A,寻求一个可逆矩阵C,使得CTAC为对角 矩阵,即 k C AC 此时,实对称矩阵A与对角矩阵合同

( )                             = n n n y y y k k k y y y    2 1 2 1 1 2 这个问题从矩阵的角度来说，就是对于一个实对 称矩阵 A ，寻求一个可逆矩阵 矩阵，即 C ，使得 C AC  为对角               =  n k k k C AC  2 1 此时，实对称矩阵A与对角矩阵合同．

由第七章定理7.5知,任给实对称矩阵A,总有正交 矩阵C,使 C AC=CAC 其中 n是A的n个特征值.把这个结果用于 二次型,就有 定理82任给实二次型∫=xx,总有正交变换 x=Cy,使∫化为标准形

由第七章定理7.5知，任给实对称矩阵 矩阵 A ,总有正交 C ，使               = =  − n C AC C AC     2 1 1 其中   n , , , 1 2  是A的n 二次型，就有 个特征值．把这个结果用于 定理8.2 任给实二次型 f x Ax T = ，总有正交变换 x = Cy ，使 f 化为标准形

便有λ1,3…λ是f的矩阵的n个特征值 下面通过举例介绍化二次型为标准形的两种常 用方法

便有   n , , , 1 2  是 f 的矩阵A的n 个特征值． 下面通过举例介绍化二次型为标准形的两种常 用方法．

用正交变换法化二次型为标准形 例1求一正交变换x=Cy,将实二次型 f(x1,x2,x3)=x2+4x2+x2-4xx2-8x1x3-4x2x3 化为标准形 解二次型的矩阵为 A

二、 用正交变换法化二次型为标准形 例1 求一正交变换 x = Cy ，将实二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + 4x + x − 4x x −8x x − 4x x 解 二次型的矩阵为 化为标准形．           − − − − − − = 4 2 1 2 4 2 1 2 4 A