南京大学计算机科学与技术系：《数值计算方法》课程教学资源（PPT课件）第4章 函数逼近的插值法与曲线拟和法 4.1 Lagrange插值法 4.2 Newton插值法（1/2）

第4章函数逼近的插值法 与曲线拟和法

第4章 函数逼近的插值法 与曲线拟和法

引言 多实际问题都用函数y=f(x来表示某种内在规律的数量 关系,其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的虽然f(x) 在某个区间[a,b上是存在的,有的还是连续的,但却只能 给出[a上一系列点x的函数值y=f(x,)(i=0,1,2,,n) 这只是一张函数表;有的函数虽然有解析表达式,但由于计 算复杂,使用不方便,通常也构造一个函数表。如三角函数表、 对数表、平方根表、立方根表等等

引言 许多实际问题都用函数 来表示某种内在规律的数量 关系,其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的.虽然 在某个区间[a，b]上是存在的，有的还是连续的，但却只能 给出[a,b]上一系列点 这只是一张函数表；有的函数虽然有解析表达式,但由于计 算复杂,使用不方便,通常也构造一个函数表。如三角函数表、 对数表、平方根表、立方根表等等。 y = f (x) f (x) xi 的函数值yi = f (xi ) (i = 0,1,2,..., n)

引言 科学实验得到数据(x,y)(=0,1,2,…,n) 它反映客观存在的函数y=f(x)在这些点的情况: y1=f(x1)(=0,1…,n) 但f(x)时未知的。因此就想寻找函数q(x)≈f(x) 且保持(x1)=f(x,)=y2(i=0,1,2,,n) 称x为节点,(x)为f(x)关于节点x,(=0,1,2,,n) 的插值函数

引言 的插值函数。 称 为节点， 为 关于节点 且保持 。 但 时未知的。因此就想寻找函数 它反映客观存在的函数 在这些点的情况： 科学实验得到数据： ( ) ( ) ( 0,1,2,..., ) ( ) ( ) ( 0,1,2,..., ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0,1,..., ) ( ) ( , ) ( 0,1,2,..., ), x x f x x i n x f x y i n f x x f x y f x i n y f x x y i n i i i i i i i i i = = = =  = = = =   

4.1 Lagrange插值法 我们希望根据给定的函数表,做一个既反映fx) 的特性,又便于计算的简单函数(x)近似与f(×),通常 选一类较简单的代数多项式或分段代数多项式来做 P(x)

4.1 Lagrange插值法 我们希望根据给定的函数表，做一个既反映 f(x) 的特性，又便于计算的简单函数( ) x 近似与 f(x),通常 选一类较简单的代数多项式或分段代数多项式来做 ( ) x

agrange插值法 令p(x)=Ln(x) =a0x+C1x+…+a 且p(x1)=f(x)=y1(i=0,1,2,…,n) 如何构造q(x)?

Lagrange插值法 令 ( ) x = 1 0 1 n n n a x a x a − = + + + … 且 ( ) ( ) i i i  x f x y = = (i=0,1,2,…，n) 如何构造( ) x ？ L (x) n

构造插值基函数 引理1设在区间[ab]上有n+1个互异节点(x 如果n次多项式/(x)满足 7(x)={=(4.2) 则 Z, (x)=I X- 4(4.13)

构造插值基函数 引理1 设在区间[a,b]上有n+1个互异节点 ， 如果n次多项式 满足 则  0 n i x 0 1 ( ) { (4.1.2) i j j i i j l x  = = 0 ( ) (4.1.3) n i j i j i x x l x = x x − = − l (x) j

证明:求l(x):门次多项式,满足条件 0=l(x0)=l1(x1) 0i≠j 如l(x)满足

证明：求 ( ) j l x ：n 次多项式，满足条件 { 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) j j j j j j j n j j l x l x l x l x l x l x = = =  = = =  = − + = 即 0 { 1 ( ) j i i j i j l x  = = 如 0 l x( )满足0 1 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 0 n l x l x l x = =  = =

这表明该方程有n个根,设 l(x)=C(x-x1)(x-x2)…(x-xn) 因为 1=b0(x)=C(x0-x1)(x0-x2)…(o-xn) ∴C (x0-x)(x-x2)…(x0-x

这表明该方程有 n 个根，设 0 1 2 ( ) ( )( ) n l x C x x x x x x = − −  − ( ) ① 因为 0 0 0 1 0 2 0 ( ) ( )( ) n 1= ( ) l x C x x x x x x = − −  − 0 1 0 2 0 1 ( )( ) n C x x x x x x  = − −  − ( ) ②

②代入①式 (x-x1)(x-x2) I ro -r(x d 0 x一X 1(x0-x1)

②代入①式 1 2 0 0 1 0 2 0 ( )( ) ( ) ( )( ) n n x x x x x x l x x x x x x x − −  − = − −  − ( ) ( ) 1 0 ( ) ( ) n i i i x x = x x − = −

一般设 1(x)=C(x-x)(x-x)…(x-x)x-xm)…(x-x)③ 因为 1(x,)=C(x1-x)x-x2) x ∴C (x1-x0(x1-x)…(x1-x1:)(x1-x:)…(x1-xn

因为 0 2 1 1 ( ) ( )( ) j j j j j j j j j n l x C x x x x x x x x x x = − −  − −  − − + 1= ( )( ) ( ) 0 0 1 1 1 ( )( ) j j j j j j j n C x x x x x x x x x x − +  = − −  − −  − ( )( ) ( ) ④ 一般设： 1 2 1 1 ( ) ( )( ) ( )( ) j j j n l x C x x x x x x x x x x − + = − −  − −  − ( ) ③