南京大学计算机科学与技术系：《数值计算方法》课程教学资源（PPT课件）第5章 数值积分 5.1 Newton-Cotes求积公式 5.2 复化求积公式 5.3 Romberg求积公式

第5章数值积分

第5章 数值积分

引言 在数学分析中,我们学习过微积分基 本定理 Newton- Leibniz公式: f(x)=F(x)b=F(b)-F(a)(501 箕中,F(x)是被积函数f(x)的原函数 随着学习的不断深化,发现 Newton Leibniz公式有很大的局限性

引言 在数学分析中，我们学习过微积分基 本定理 Newton-Leibniz 公式： (5.0.1) 其中， F x( )是被积函数 f x( )的原函数。 随着学习的不断深化，发现 Newton￾Leibniz 公式有很大的局限性。  = = − b a b f (x)dx F(x) a F(b) F(a)

引 首先,遇到的是一类被积函数f(x)没有初 等函数有限形式的原函数,如 椭圆周长L=4[2√-a2 2 sin 0d0 正态分布函数er等

引言 首先，遇到的是一类被积函数 f x( ) 没有初 等函数有限形式的原函数，如 e dx 等。 L a d x   − = − 1 0 2 0 2 2 4 1 sin 正态分布函数 椭圆周长 ；   

引言 其次,被积函数f(x)由表格形式给出,没有解析形式,也无 法使用 Newton- Leibniz公式; 第三,常常f(x)本身形式并不复杂,而原函数F(x)推 导十分冗长,且表达式复杂,给计算结果带来十分不便

引言 其次，被积函数 f x( )由表格形式给出，没有解析形式，也无 法使用 Newton- Leibniz 公式； 第三，常常 f x( )本身形式并不复杂，而原函数 F x( )推 导十分冗长，且表达式复杂，给计算结果带来十分不便

引言 为克服上述许多缺点,定积分计算的数值求解能弥 补上述不足,并可带来满意的结果。 积分数值算法的思想是,首先求被积函数∫(x)的一个逼近函数 p(x),即f(x)=p(x)+r(x),这里r(x)为误差函数,于是

引言 为克服上述许多缺点，定积分计算的数值求解能弥 补上述不足，并可带来满意的结果。 积分数值算法的思想是，首先求被积函数 f x( )的一个逼近函数 p x( )，即 f x p x r x ( )= + ( ) ( )，这里r x( )为误差函数，于是

引言 由定积分定义 f(x)=m。∑f(5)△x i=0 (1)分割a=x0<x<…<xn=;b (2)近似△,=f()△x1△x1=x1-x-1 (3)求和S,=∑△=∑f(5)△ i=0

引言 ◼ 由定积分定义 i n i i n i n i i i i i i n i b a i n i i x S s f x s f x x x x a x x x b f x dx f x     = = − =  → =  =   =   = − =    = =  0 0 1 0 1 0 0 (3) ( ) (2) ( ) (1) ... ( ) lim ( )    求和 近似 分割

引言 (4)求极限A=max{Ax 1f(5)Ax, =f(x)dx 由此想到机械求积公式 b f(xdx= Aof(xo)+A f(x,+. f(n)+rlf] ∑Af(x)+R 其中4权系数,∑4f(x,是f(x)加权和 =0 也是[f(x)d的近似值

引言   =  =  =  =  →  →   b a n i i i x n x i i n S f x f x dx x x lim lim ( ) ( ) (4) max{ } 0 0 0 1  求极限 也是 的近似值。 其中 权系数， 是 加权和， 由此想到机械求积公式     = = = + = + + + b a i n i i i i n i i i n n b a f x dx A A f x f x A f x R f f x dx A f x A f x A f x R f ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ... ( ) [ ] 0 0 0 0 1 1

5.1 Newton- Cotes求积公式 511 Cotes系数 首先,我们考察一种简单情况。设y=f(x)用节点(a,f(a)、(b,(f(b) 的一次插值多项式代替,即 f(x)=L1(x)+r1(x) (5.1.1 a.b1()+x9()+,/(x)(x-a)x-b) b x∈(a. b

5.1 Newton-Cotes求积公式 5.1.1 Cotes 系数 首先，我们考察一种简单情况。设 y f x = ( ) 用节点( , ( )),( ,( ( )) a f a b f b 的一次插值多项式代替，即 ( ) ( ) ( ) 1 1 f x L x r x = + (5.1.1) ( ) ( ) ( )( )( ) 1 " 2 x b x a f a f b f x a x b a b a b x - - = + + - - - - x(a,b)

所以 x f(x)dx=[2(a)+ f(old 6-a 62 f (scx-a(x-b)d [f(a)+f(b)+R[ 其中 R(6-a) 12f"(2)5∈(a2b)

( ) ( , ) 12 [ ] [ ( ) ( )] [ ] 2 ( )( )( ) 2 1 ( ) [ ( ) ( )] '' 3 '' f a b b a R f f a f b R f b a f x a x b dx f b dx b a x a f a a b x b f x dx T T b a b a b a  − = − + + − = + − − − − + − − =       （ ） 其中 所以

由 Lagrange插值任何一的函数y=f(x)都 可以近似的表示成 f(x)=L,(x)+r,(x) 其中 Ln(x)=∑1(x)y是f(x)的 Lagrange插值多项式

◼ 由Lagrange插值,任何一的函数 都 可以近似的表示成 其中 y = f (x) f (x) L (x) R (x) = n + n L x l x y 是f x 的Lagrage插值多项式。 n j n j j ( ) ( ) ( ) 0 = =