南京航空航天大学：《材料力学》第六章 弯曲变形

材料力学 第六章 弯曲变形 2021年2月21日

1 材 料 力 学 2021年2月21日 第六章 弯 曲 变 形

第六章弯曲变形 本章内容: 1工程中的弯曲变形问题 2挠曲线的微分方程 3用积分法求弯曲变形 4用叠加法求弯曲变形 5简单静不定梁 6提高弯曲刚度的一些措施

2 第六章 弯曲变形 本章内容: 1 工程中的弯曲变形问题 2 挠曲线的微分方程 3 用积分法求弯曲变形 4 用叠加法求弯曲变形 5 简单静不定梁 6 提高弯曲刚度的一些措施

§6.1工程中的弯曲变形问题 对梁除了有强度要求外,还有刚度要求。 大多数情况下,要求梁的变形不能过大; 些特殊情况下,要利用弯曲变形。 求解静不定问题需要计算梁的变形。 §6.2挠曲线的微分方程 挠曲线梁的轴线变形后的曲线。 对称弯曲时,是一条平面曲线

3 §6. 1 工程中的弯曲变形问题 对梁除了有强度要求外，还有刚度要求。 大多数情况下，要求梁的变形不能过大； 一些特殊情况下，要利用弯曲变形。 §6. 2 挠曲线的微分方程 求解静不定问题需要计算梁的变形。 挠曲线 梁的轴线变形后的曲线。 对称弯曲时，是一条平面曲线

§6.2挠曲线的微分方程 1基本概念 挠曲线梁的轴线变形后的曲线。 对称弯曲时,是一条平面曲线。 弯曲变 形的度量 挠度 0 x 横截面形 r---- 心沿y方向 的位移,用表示

4 §6. 2 挠曲线的微分方程 1 基本概念 梁的轴线变形后的曲线。 对称弯曲时，是一条平面曲线。 弯曲变 形的度量 挠度 横截面形 心沿y方向 的位移，用v表示。 挠曲线

挠度 横截面形心沿y方向 0 的位移,用v表示。 转角 vI 变形后,横截面相对其原来位置转过的角度。 用O表示。转角θ以逆时钍为正。 挠曲线方程 f(x 转角即为挠曲线在该点的切线与x轴的夹角。 d tan 0 dx

5 挠度 横截面形心沿y方向 的位移，用v表示。 转角 变形后，横截面相对其原来位置转过的角度。 用 表示。转角 以逆时针为正。 挠曲线方程 v = f (x) 转角即为挠曲线在该点的切线与x轴的夹角。 x v d d tan =

2挠曲线的微分方程 上一章中,已得到:忽略剪力对变形的影响时, 梁对称弯曲时的曲率为 1M(x) p(x) El 由高等数学公式 M(x) d2 tr p(x) 3/2 d v 1+ dx

6 2 挠曲线的微分方程 上一章中，已得到：忽略剪力对变形的影响时， 梁对称弯曲时的曲率为 由高等数学公式 EI M x x ( ) ( ) 1 =  = ( ) 1  x 3/2 2 2 2 d d 1 d d               +  x v x v

d 1M(x) d p(x)Er’p(x) 3/2 dv 1+ dx 2 M/(x) 3/2 E 1+ d—d 这就是挠曲线的微分方程

7 , ( ) ( ) 1 EI M x x =  = ( ) 1  x 3 / 2 22 2 dd 1 dd     +  xvxv 3 / 2 22 2 dd 1 dd     +  xvxv EI M (x ) = 这就是挠曲线的微分方程

dx M(x) /)23/2 E d 太 x 挠曲线的近似微分方程 vlr) 在小变形的情况下, d y d v M( dx dx E 方程中正负号的确定

8 挠曲线的近似微分方程 3/2 2 2 2 d d 1 d d               +  x v x v EI M (x) = 在小变形的情况下， 1 d d  x v 2 2 d d x v  EI M (x) = 方程中正负号的确定

挠曲线的近似微分方程 在小变形的情况下, d y 0 x<0 应取正号 dv20 dr 会 <0 d2v M(xlo r O (a dx E

9 挠曲线的近似微分方程 在小变形的情况下， 1 d d  x v 2 2 d d x v  EI M (x) = 方程中正负号的确定 所以方程中 应取正号。 EI M (x) = 2 2 d d x v

挠曲线的近似微分方程 在小变形的情况下, d y d v M(x) d El 方程中正负号的确定方程中应取正号 d v m(x) 转角:0≈如Bd人?/ d El d 注意:挠曲线的近似微分方程仅适用于小变形的 平面弯曲问题

10 挠曲线的近似微分方程 在小变形的情况下， 1 d d  x v 2 2 d d x v  EI M (x) = 方程中正负号的确定 方程中应取正号。 EI M x x v ( ) d d 2 2 = 转角:   tan 注意: 挠曲线的近似微分方程仅适用于小变形的 平面弯曲问题。 x v d d =