南京航空航天大学：《材料力学》第九章 压杆稳定

材料力学 第九章 压杆稳定 2021年2月21日

1 材 料 力 学 2021年2月21日 第九章 压 杆 稳 定

第九章压杆稳定 本章内容 1压杆稳定的概念 2两端铰支细长压杆的临界压力 3其他支座条件下细长压杆的临界压力 4欧拉公式的适用范围经验公式 5压杆的稳定校核 6提高压杄稳定性的措施 7纵横弯曲的概念

2 第九章 压杆稳定 本章内容: 1 压杆稳定的概念 2 两端铰支细长压杆的临界压力 3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 4 欧拉公式的适用范围 经验公式 5 压杆的稳定校核 6 提高压杆稳定性的措施 7 纵横弯曲的概念

§9.1压杆稳定的概念 前面各章节讨论了构件的强度和刚度问题。 本章讨论受压杆件的稳定性问题。 稳定性问题的例子 P P 平衡形式突然改变→丧失稳定性→→失稳

3 §9. 1 压杆稳定的概念 前面各章节讨论了构件的强度和刚度问题。 本章讨论受压杆件的稳定性问题。 稳定性问题的例子 平衡形式突然改变 丧失稳定性 失稳

平衡形式突然改变→丧失稳定性→◆失稳 构件的失稳通常突然发生,所以,其危害很大。 1907年加拿大劳伦斯河上,跨度为548米的魁北 克大桥,因压杆失稳,导致整座大桥倒塌。 脚手架倒塌 平衡的稳 定性

4 平衡形式突然改变 丧失稳定性 失稳 构件的失稳通常突然发生，所以，其危害很大。 1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为548米的魁北 克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。 脚手架倒塌 平衡的稳 定性

平衡的稳定性 稳定平衡不稳定平衡 随遇平衡 压杆的平衡 P.P<Pcr P≥Pe 稳定性 当P<P 干扰力 当P≥P

5 平衡的稳定性 稳定平衡 不稳定平衡 随遇平衡 压杆的平衡 稳定性 当 P  Pcr 当 P  Pcr

压杆的平衡 PP<Per P≥Per 稳定性 当P<Pr 干扰力 当P≥Pr 当P<P时,压杆的直线平衡状态是稳定的 当P≥P时,直线平衡状态转变为不稳定的 受干扰后成为微弯平衡状态。 临界压力P 使直线平衡状态是稳定平衡状态的最大压力, 也是在微弯平衡状态下的最小压力

6 压杆的平衡 稳定性 临界压力 Pcr 当 P  Pcr时，压杆的直线平衡状态是稳定的。 当 P  Pcr时，直线平衡状态转变为不稳定的， 受干扰后成为微弯平衡状态。 使直线平衡状态是稳定平衡状态的最大压力， 也是在微弯平衡状态下的最小压力。 当 P  Pcr 当 P  Pcr

59.2两端铰支细长压杆的临界压力 两端铰支杆受压 P 力P作用 考察微弯平衡状态 P x处截面的弯矩 M=-P1 挠曲线近似微分 方程dM dx2=E/I—为截面最小的惯性矩 d-v p P +2y=0 d E/ El

7 §9. 2 两端铰支细长压杆的临界压力 两端铰支杆受压 力P作用 考察微弯平衡状态 x处截面的弯矩 M = −Pv 挠曲线近似微分 EI M x v = 2 2 d d I ⎯ 为截面最小的惯性矩 EI Pv x v = − 2 2 d d 方程  + v = 0 EI P v

P P +—1=0 dx El El 引入记号k P El 1"+kv=0 通解为y= Asin kx+ B kx 其中,A、B为积分常数,由边界条件确定。 边界条件为:x=0时,v=0;x=时,v=0 将x=0.1=0代入通解 B=0 将x=l,ν=0代入通解 asin kl=o

8 EI Pv x v = − 2 2 d d  + v = 0 EI P v EI P k = 引入记号 2 0 2 v + k v = 通解为 v = Asin kx+ Bcoskx 其中，A、B为积分常数，由边界条件确定。 边界条件为: x = 0 时， v = 0; x = l 时， v = 0 将 x = 0, v = 0 代入通解 B = 0 将 x = l, v = 0代入通解 Asin kl = 0

边界条件为:x=0时,=0:x=时,1=0 将x=0,ν=0代入通解 B=0 将x=l,V=0代入通解 Asin kl=o 因A≠0.所以应有snkl=0 k=n,(n=0,1,2,…) 代入z2P p-nET El 因为临界压力是微弯平衡状态下的最 小压力,所以,应取n=1

9 边界条件为: x = 0 时， v = 0; x = l 时， v = 0 将 x = 0, v = 0 代入通解 B = 0 将 x = l, v = 0 代入通解 Asin kl = 0 因 A  0, 所以应有 sin kl = 0 k l = n, (n = 0,1, 2, ) 代入 EI P k = 2 2 2 2 l n EI P  = 因为临界压力是微弯平衡状态下的最 小压力，所以，应取 n = 1

代入k2=2 p=nEr P El 因为临界压力是微弯平衡状态下的最 小压力,所以,应取n=1 丌2EI P 一欧拉公式 这就是两端铰支细长压杆的临界压力公式。 当取n=1时,由k/=n,k 则,挠曲线方程为y=Amxx

10 代入 EI P k = 2 2 2 2 l n EI P  = 因为临界压力是微弯平衡状态下的最 小压力，所以，应取 n = 1 。 2 2 l EI Pcr  = 这就是两端铰支细长压杆的临界压力公式。 ⎯ 欧拉公式 当取 n = 1 时，由 kl = n, l k  = 则，挠曲线方程为 l x v A  = sin