中南大学：《金属塑性加工原理》课程教学资源（PPT课件）第四篇 金属塑性变形力学解析方法 第9章 功平衡法和上限法及其应用

第9章 功平法和上限法及其应用 §9.1功平衡法 §9.2极值原理及上限法 §9.3速度间断面及其速度特性 §9.4 Johnson上限模式及应用 §9.5 Aviztur上限模式及应用

第9章 功平衡法和上限法及其应用 §9.1 功平衡法 §9.2 极值原理及上限法 §9.3 速度间断面及其速度特性 §9.4 Johnson上限模式及应用 §9.5 Aviztur上限模式及应用

采用近似解法求解金属塑性加工变形力学问题，据原理有 两类：一类是根据力平衡条件求近似解，如工程法；另一类是 根据能量原理求近似解，如功平衡法和上限法等。 功平衡法是利用塑性变形过程的功平衡原理来求解变形力的 近似解；极值原理是根据虚功原理和最大塑性功耗原理，确定 物体总位能接近于最低状态下，即物体处于稳定平衡状态下变 形力的近似解

采用近似解法求解金属塑性加工变形力学问题，据原理有 两类：一类是根据力平衡条件求近似解，如工程法；另一类是 根据能量原理求近似解，如功平衡法和上限法等。 功平衡法是利用塑性变形过程的功平衡原理来求解变形力的 近似解；极值原理是根据虚功原理和最大塑性功耗原理，确定 物体总位能接近于最低状态下，即物体处于稳定平衡状态下变 形力的近似解

§9.1功平衡法 功平衡法是利用塑性变形过程中的功平衡原理来计算变形 力的一种近似方法，又称变形功法。 功平衡原理是指：塑性变形过程外力沿其位移方向上所作 的外部功(W)等于物体塑性变形所消耗的应变功(W)和接 触摩擦功(W)之和，即： Wp Wd W 对于变形过程的某一瞬时，上式可写成功增量形式： dWp=dWa dW

§9.1 功平衡法 功平衡法是利用塑性变形过程中的功平衡原理来计算变形 力的一种近似方法，又称变形功法。 功平衡原理是指：塑性变形过程外力沿其位移方向上所作 的外部功（WP）等于物体塑性变形所消耗的应变功（Wd）和接 触摩擦功（Wf）之和，即： 对于变形过程的某一瞬时，上式可写成功增量形式： WP = Wd + Wf dWP = dWd + dWf

dW,为外力所作功的增量 外力P沿其作用方向产生的位移增量为dup,则 dW。=P×dup dW,为塑性变形功增量 单元体积的塑性变形功增量为 dWa=odei dv=(ode+o2de2+o3de3)dV dW为接触摩擦所消耗功的增量 若接触面S上摩擦切应力及其方向的位移增量为du,则 dWr-Jetrdurds

dWP为外力所作功的增量 dWd为塑性变形功增量 dWf为接触摩擦所消耗功的增量 单元体积的塑性变形功增量为 dWd = σi jdεi jdV = (σ1 dε1 + σ2 dε2 + σ3 dε3 )dV 若接触面S上摩擦切应力及其方向的位移增量为duf，则 = F dWf τf duf dS 外力P沿其作用方向产生的位移增量为duP，则 dWp = P  dup

于是由功平衡方程，得到了总的变形力P为 P=r[vdedv+du dFl!dur 由于塑性变形总是不均匀的，计算d是比较困难的 通常可按均匀变形假设确定，故变形功法又称为均匀变 形功法

于是由功平衡方程，得到了总的变形力P为 由于塑性变形总是不均匀的，计算 是比较困难的， 通常可按均匀变形假设确定，故变形功法又称为均匀变 形功法。   = + F P T V d e dV f du f dF duP [   ]/ d ij 

§9.2极值原理及上限法 极值原理包括上限定理和下限定理，都是根据虚功原理 和最大塑性功耗原理得出的，但各自分析问题的出发点不同。 上限定理是按运动学许可速度场（主要满足速度边界条 件和体积不变条件)来确定变形载荷的近似解，这一变形载 荷它总是大于（理想情况下才等于）真实载荷，即高估的近 似值，故称上限解 下限定理仅按静力学许可应力场（主要满足力的边界条 件和静力平衡条件)来确定变形载荷的近似解，它总是小于 (理想情况下才等于)真实载荷，即低估的近似解，故称下 限解

§9.2 极值原理及上限法 极值原理包括上限定理和下限定理，都是根据虚功原理 和最大塑性功耗原理得出的，但各自分析问题的出发点不同。 上限定理是按运动学许可速度场（主要满足速度边界条 件和体积不变条件）来确定变形载荷的近似解，这一变形载 荷它总是大于（理想情况下才等于）真实载荷，即高估的近 似值，故称上限解； 下限定理仅按静力学许可应力场（主要满足力的边界条 件和静力平衡条件）来确定变形载荷的近似解，它总是小于 （理想情况下才等于）真实载荷，即低估的近似解，故称下 限解

N 上 3 2 解 精确解 3 下限解 0 求解模式参数 图9-2 上限解、下限解与精确解的比较

最大塑性功消耗原理：在一切许可的塑性应变增量（应 变速度)或许可的应力状态中，以符合增量理论关系的应力 状态或塑性应变增量（应变速度）所耗塑性应变功耗（或功 率消耗)最大。 1' 屈服轨迹 切线 0≤ G' 图9-3最大塑性功耗原理示意图

最大塑性功消耗原理：在一切许可的塑性应变增量（应 变速度）或许可的应力状态中，以符合增量理论关系的应力 状态或塑性应变增量（应变速度）所耗塑性应变功耗（或功 率消耗）最大

上限定理是根据运动学许可速度场来分析变形载荷的 设所拟运动学许可速度场为v,由几何关系确定的应变速度 场，再由该应变速度场按几何方程与增量理论确定的应 力场为。而变形体中实际的应力场为。于是根据虚 功原理和塑性功耗原理可以导出在一般情况下塑性加工中常 用的上限定理的功率表达形式为： ∫ppy,dk≤ff,o,e,d+jn,Av,dk+2N 式中，P:为真实载荷

上限定理是根据运动学许可速度场来分析变形载荷的， 设所拟运动学许可速度场为 ，由几何关系确定的应变速度 场 ，再由该应变速度场按几何方程与增量理论确定的应 力场为 。而变形体中实际的应力场为 ，于是根据虚 功原理和塑性功耗原理可以导出在一般情况下塑性加工中常 用的上限定理的功率表达形式为： 式中， 为真实载荷。 v i '  ij   ij *  ij    s p i i  v i j i j +  s v t  i ds + Nk p v' ds   dv  v' pi

用上限法计算塑性加工过程的极限载荷的关键在于拟设 塑性变形区内的虚拟运动学许可速度场，这种速度场应满足 以下三个条件： (1)速度边界条件； (2)体积不变条件； (3)保持变形区内物质的连续性。 而与此速度场对应的应力场则不一定要求满足力平衡条件 和力的边界条件

用上限法计算塑性加工过程的极限载荷的关键在于拟设 塑性变形区内的虚拟运动学许可速度场，这种速度场应满足 以下三个条件： （1）速度边界条件； （2）体积不变条件； (3) 保持变形区内物质的连续性。 而与此速度场对应的应力场则不一定要求满足力平衡条件 和力的边界条件