中南大学：《金属塑性加工原理》课程教学资源（PPT课件）第四篇 金属塑性变形力学解析方法 第7章 金属塑性加工变形力的工程法解析

第7章 金属塑性加工变形力的工 程法解析 §7.1工程法及其要点 §7.2直角坐标平面应变问题解析 §7.3圆柱坐标轴对称问题 §7.4极坐标平面应变问题解析 §7.5球坐标轴对称问题的解析

第7章 金属塑性加工变形力的工 程法解析 §7.1 工程法及其要点 §7.2 直角坐标平面应变问题解析 §7.3 圆柱坐标轴对称问题 §7.4 极坐标平面应变问题解析 §7.5 球坐标轴对称问题的解析

§7.1工程法及其要点 >求解原理 P-j川so,函=ps 工作应力，一般它在工作面上是不均匀的，常用单位 压力 表示 S一一工作面积P按“工作面投影代替力的投影”法则求 解

§7.1 工程法及其要点 ➢求解原理 ——工作应力，一般它在工作面上是不均匀的，常用单位 压力 表示 S——工作面积 ，按“工作面投影代替力的投影”法则 求 解  P = S  n  ds = p  S  n p

求解要点 ,工程法是一种近似解析法，通过对物体应力状态作一些简 化假设，建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条 件。 ,这些简化和假设如下： 1.把实际变形过程视具体情况的不同看作是平面应变问 题和轴对称问题。如平板压缩、宽板轧制、圆柱体镦粗、 棒材挤压和拉拔等。 2,假设变形体内的应力分布仅是一个坐标的函数。这样 就可获得近似的应力平衡微分方程，或直接在变形区内截 取单元体，截面上的正应力假定为主应力且均匀分布，由 此建立该单元体的应力平衡微分方程为常微分方程

求解要点 ➢工程法是一种近似解析法，通过对物体应力状态作一些简 化假设，建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条 件。 ➢这些简化和假设如下： 1．把实际变形过程视具体情况的不同看作是平面应变问 题和轴对称问题。如平板压缩、宽板轧制、圆柱体镦粗、 棒材挤压和拉拔等。 2．假设变形体内的应力分布仅是一个坐标的函数。这样 就可获得近似的应力平衡微分方程，或直接在变形区内截 取单元体，截面上的正应力假定为主应力且均匀分布，由 此建立该单元体的应力平衡微分方程为常微分方程

3.采用近似的塑性条件。工程法把接触面上的正应力 假定为主应力，于是对于平面应变问题，塑性条件 (o-0,)2+4r=4k2 可简化为0x-oy=2k 或 do,=doy 0x-y=0 对于轴对称问题，塑性条件(o,-0)2+3子=o 可简化为 do,-do:=0

3. 采用近似的塑性条件。工程法把接触面上的正应力 假定为主应力，于是对于平面应变问题，塑性条件 可简化为 或 对于轴对称问题，塑性条件 可简化为 2 2 2 ( ) 4 4k  x − y +  xy =     − = − = 0 2 x y x y k     d x = d y 2 2 2 ( r z ) 3 zr  T  − +  = d r − d z = 0

4.简化接触面上的摩擦。采用以下三种近似关系 库仑摩擦定律：tk=fom (滑动摩擦) 常摩擦定律： Tk =k (粘着摩擦) 式中： 一一摩擦应力k一一 屈服切应力(k=o,5) 0—— 正应力f一一 摩擦系数 5,其它。如不考虑工模具弹性变形的影响，材料变形为 均质和各向同性等

4．简化接触面上的摩擦。采用以下二种近似关系 库仑摩擦定律： （滑动摩擦） 常摩擦定律： （粘着摩擦） 式中： ——摩擦应力 k——屈服切应力（ ） ——正应力 f ——摩擦系数 5．其它。如不考虑工模具弹性变形的影响，材料变形为 均质和各向同性等。 k n  = f k  k = k   n k = s / 3

§7.2直角坐标平面应变问题解析 ,例题一 1.滑动摩擦条件下的矩形块平锤压缩变形（直角坐标平面应变问题） 高为h,宽为W,长为1 的矩形块，置于平锤下压 缩。如果1比W大得多， 则1方向几乎没有延伸， 0 仅在x方向和y方向有塑 性流动，即为平面应变 问题，适用于直角坐标 分析。 矩形工件的平锤压缩

➢ 例题一 1.滑动摩擦条件下的矩形块平锤压缩变形（直角坐标平面应变问题 ） 高为h，宽为W，长为l 的矩形块，置于平锤下压 缩。如果l 比W大得多， 则l方向几乎没有延伸， 仅在x方向和y方向有塑 性流动，即为平面应变 问题，适用于直角坐标 分析。 矩形工件的平锤压缩 §7.2 直角坐标平面应变问题解析

(以图示应力方向推证。) 单元体x方向的力平衡方程为： o,h-(o,+do,)h-2tdx=0 整理后得：dox+2=0 dx h 由近似塑性条件 oy-ox=Kf 或-少=0得： h 将滑动摩擦时的库仑摩擦定律 Tk=foy 代入上式得： a,=_2fa, h 上式积分得：，=6四

（以图示应力方向推证。） 单元体x方向的力平衡方程为： 整理后得： 由近似塑性条件 或 ，得： 将滑动摩擦时的库仑摩擦定律 代入上式得： 上式积分得：  x h −( x + d x )h − 2 k dx = 0 0 2 + = dx h d x k   dx− dy = 0 dx h d y k  2 = − k y  = f h f dx d y  y 2 = −       = x h f y C 2  1 exp σy－σx=Kf

在接触边缘处，即x=W/2 时，0x=0, 由近似塑性条件得口，=k 于是c=k,( 因此接触面上正应力分布规律 ,=K exp 20w-] h 最后求得板坯单位长度（亿向单位长度）上的变形 力P可求得为： P-a,=km月

在接触边缘处，即 时， ， 由近似塑性条件得 于是 因此接触面上正应力分布规律 最后求得板坯单位长度（Z向单位长度）上的变形 力P可求得为： x =W / 2  x = 0 y f  = k       = h fW C K f exp       − = h f W x y K f 2 (0.5 )  exp        −       = =   2 ( ) exp 1 / 2 0 h f W f h P dx Kf W  y

§7.3圆柱坐标轴对称问题 下面讨论混合摩擦条件下，平锤均匀镦粗圆柱体时变 形力计算。圆柱体徽粗时，如果锻件的性能和接触表面状 态没有方向性，则内部的应力应变状态对称于圆柱体轴线 (z轴)，即在同一水平截面上，各点的应力应变状态与φ 坐标无关，仅与坐标有关。因此是一个典型的圆柱体坐标 轴对称问题

下面讨论混合摩擦条件下，平锤均匀镦粗圆柱体时变 形力计算。圆柱体镦粗时，如果锻件的性能和接触表面状 态没有方向性，则内部的应力应变状态对称于圆柱体轴线 （z轴），即在同一水平截面上，各点的应力应变状态与 坐标无关，仅与r坐标有关。因此是一个典型的圆柱体坐标 轴对称问题。 §7.3 圆柱坐标轴对称问题

圆柱坐标轴对称问题 工件的受力情况如 .+d0。 右图所示。仍以图示受 力方向推证。分析它的 D 一个分离单元体的静 -0,4da. 力平衡条件，得： ah-o-a,+d,M+o-2,tt+2加，：dsn号=0

圆柱坐标轴对称问题 工件的受力情况如 右图所示。仍以图示受 力方向推证。分析它的 一个分离单元体的静 力平衡条件，得： 0 2  −( + ) ( + ) − 2  + 2  sin =           d h rd d h r d r d rd d r h d r r r r k