高等学校计算机专业教材：《数值计算方法》课程教学资源（PPT课件）第2章 贝齐尔曲线和B样条曲线

第2章贝齐尔曲线和B样条曲线 到了70年代,法国雷诺汽车公司的工程师贝 齐尔( bezier)创造出一种适用于几何体外形设 计的新的曲线表示法。这种方法的优越性在于 对于在平面上随手勾画出的一个多边形(称为特 征多边形),只要把其顶点坐标输入计算机,经 过不到一秒钟的计算,绘图机就会自动画出同这 个多边形很相像、又十分光滑的一条曲线。这种 方法被人们称为贝齐尔( bezier)方法(以下统称为 Bezier方法) 点击此处结束放映

第2章 贝齐尔曲线和B样条曲线 到了70年代，法国雷诺汽车公司的工程师贝 齐尔（Bezier）创造出一种适用于几何体外形设 计的新的曲线表示法。这种方法的优越性在于： 对于在平面上随手勾画出的一个多边形（称为特 征多边形），只要把其顶点坐标输入计算机，经 过不到一秒钟的计算，绘图机就会自动画出同这 个多边形很相像、又十分光滑的一条曲线。这种 方法被人们称为贝齐尔(Bezier)方法(以下统称为 Bezier方法)

2.1贝齐尔助线 2.2B样条历数 2.3B样条助线 2.4自助线设边 点击此处结束放映

2.1 贝齐尔曲线 2.2 B样条函数 2.3 B样条曲线 2.4 自由曲线设计

2.1贝齐尔曲线 贝齐尔曲线的形状是通过一组多边折 线(也称为贝齐尔控制多边形)的各顶点 惟一地定义出来的。在该多边折线的各顶 点中,只有第一点和最后一点在曲线上 其余的顶点则用来定义曲线的形状。图2-1 列举了一些 Bezier多边折线和相应的 Bezier 曲线的形状关系。 点击此处结束放映

2.1 贝齐尔曲线 贝齐尔曲线的形状是通过一组多边折 线（也称为贝齐尔控制多边形）的各顶点 惟一地定义出来的。在该多边折线的各顶 点中，只有第一点和最后一点在曲线上， 其余的顶点则用来定义曲线的形状。图2-1 列举了一些Bezier多边折线和相应的Bezier 曲线的形状关系

P 图2-1 Bezier曲线 点击此处结束放映

图2-1 Bezier 曲线

注意恒等式 l=(t+1-t) n-k k=0 k 假定f∈c[o4}将它写成 f()=∑f()(-1y2k 其中,是二项式系数 k k(n=,我们称 点击此处结束放映

B/=∑ k ∑ k-nk-n n(t)(0≤t≤1) k=0 为f(1)的n次 Bernstein多项式。其中 B2,2() 称为n次 Bernstein多项式的基函数, Bezier曲线就是以此为基础构造出来的。 点击此处结束放映

称为n次Bernstein多项式的基函数， Bezier曲线就是以此为基础构造出来的

2到8次 Bezier曲线的图例,如图2-3所示。 三个顶点 四个顶点 二次 Bezier曲线 三次 Bezier曲线 五个顶点 六个顶点 四次 Bezier曲线 五次 Bezier曲线 七个顶点 八个顶点 六次 Bezier曲线 九个顶点 七次 Bezier曲线 图2-3 Bezier曲线图例 点击此处结束放映

2到8次Bezier曲线的图例，如图2-3 图2-3 Bezier 曲线图例

22B样条函数 为了定义B样条曲线,首先给出n次截幂函数 和n阶B样条函数的定义。我们称x为m次截幂函 数,即 x>0 0 0 称Mn(x)为m阶B样条函数,即 M,() ∑ 1),x+-k (n-1) 点击此处结束放映

2.2 B样条函数 为了定义B样条曲线，首先给出n次截幂函数 和n阶B样条函数的定义。我们称 为n次截幂函 数，即 称Mn (x)为n阶B样条函数，即

B样条函数图如图2-4所示。 M2(x) h3( 图24B样条函数 点击此处结束放映

B样条函数图如图2-4所示。 图2-4 B样条函数

B样条函数具有下列的重要性质: (1)M(x)是分段n-1次多项式。当m为 偶数时具有整数节点x1=-n/2+k,当n为奇 数时具有半整数节点:x1=m2+k。比如: n=2,k=0,1,2,x0=-1,x1=0,x2=1 n=3,k-0,1,2,3,x=-1.5,x1=-0.5,x2=0.5 x2=1.5 点击此处结束放映

B （1）Mn (x)是分段n-1次多项式。当n为 偶数时具有整数节点xk =-n/2+k，当n为奇 数时具有半整数节点：xk =-n/2+k。比如： n=2, k=0,1,2, x0 =-1, x1 =0, x2 =1 n=3, k=0,1,2,3，x0 =-1.5, x1 =-0.5, x2=0.5， x3=1.5