高等学校计算机专业教材：《数值计算方法》课程教学资源（PPT课件）第6章 常微分方程数值解法

第6章常微分方程数值解法 本章主要介绍一阶方程初值问题 f(x,y)(6.1) y(x0)=y0(6.2) 点击此处结束放映

第6章 常微分方程数值解法 本章主要介绍一阶方程初值问题

的数值解法。它是寻求解曲线vx)在一系列离散 节点 <…<xn<xn+1< 上准确值vx)的近似值y(≠=0,1,2,)相邻两个节点 的间距h=xm1x称为步长。今后如不特别说明, 总是假定h为定数,这时节点为 x=x0+in(÷=0,1,2, 初值问题的数值解法有个基本特点,它们都 采取“步进式”,即求解过程顺着节点排列的次 序一步一步地向前推进。描述这类算法,只要给 出用已知信息pnn1n2…计算ym1的递推公式即 可 点击此处结束放映

的数值解法。它是寻求解曲线y(x)在一系列离散 x1＜x2＜…＜xn＜xn+1＜… 上准确值y(xi )的近似值yI (i=0,1,2,…)相邻两个节点 的间距h=xi+1 -xi称为步长。今后如不特别说明， 总是假定h为定数， xi=x0+ih(i=0,1,2,…) 初值问题的数值解法有个基本特点，它们都 采取“步进式” ，即求解过程顺着节点排列的次 序一步一步地向前推进。描述这类算法，只要给 出用已知信息yn,yn-1 ,yn-2…计算yn+1的递推公式即 可

61欧拉方法 6.2龙格库塔方法 63一阶方程组 64应用实例 点击此处结束放映

6.1 欧拉方法 6.2 龙格-库塔方法 6.3 一阶方程组 6.4 应用实例

61欧拉方法 1.方向场 我们把xy;看作一平面上的直角坐标 并设方程(6,1)右端的函数八(xy)在此平面上 某域G内有定义。 所谓等斜线就是这样的点的轨迹,在 这些点处方向场中方向的斜率取向一值c 点击此处结束放映

6.1 欧拉方法 1. 我们把x,y看作一平面上的直角坐标， 并设方程(6.1)右端的函数f(x,y)在此平面上 某域G内有定义。 所谓等斜线就是这样的点的轨迹，在 这些点处方向场中方向的斜率取向一值c

2 Euler方法 Euler方法是解方程(61)的最简单的数值方法。 3.误差 为简化分析,人们常在yn为准确的假定下(即 ny(xn),估计误差 +IV(un+1-y(xn)+hf Lxm, y(xnI j 这种误差称为局部截断误差。如果不作这一假 定,累积了n步的误差,称为整体截断误差。其 表达式为 En+1=y(xn1)yn+1=y(xn1)-[yn+(xmnyn) 点击此处结束放映

2 . Euler Euler方法是解方程(6 1)的最简单的数值方法。 3. 为简化分析，人们常在yn为准确的假定下(即 yn =y(xn ))， en+1=y(xn+1 )-｛y(xn )+hf［xn , y(xn )］｝ 这种误差称为局部截断误差。如果不作这一假 定，累积了n步的误差，称为整体截断误差。其 En+1=y(xn+1 )-yn+1=y(xn+1 )-［yn+hf(xn , yn )］

[例1]证明Euer方法能准确地求解以下初值问 题 dr r 分析:因为准确解y(x)=x,所以(xm1)=0xm 0 由 Euler公式得y=y(xo),假定yny(xn), 往证 Ym=y(n1) 0 7+1 0 点击此处结束放映

［例1］证明Euler方法能准确地求解以下初值问 题： 分析：因为准确解 ,所以 由Euler公式得y0=y(x0 )，假定yn =y(xn )， 往证

证明:yn1=yn+hf(xn,yn) 由 Euler -y +h 公式得 X yn(1+h-) =y(xn)(1+h X 点击此处结束放映

证明： 由 Euler 公式得

0x(1+h 1 0(x,+h) 1 0 0 证明完毕 n1+1 0 n+1) 点击此处结束放映

证明完毕

6.2龙格库塔方法 我们已经知道,EWl方法是一阶方法。它是 在假定yn=y(x)的情况下,对解曲线yx)在xn点 Taylor展开取线性部分的结果。如果我们将 Taylor,展开多取几项,就可以得到更高精度的方 法:龙格-库塔( Runge-kutt方法。 Runge-kutta方法要用到高等数学中的二元 Taylor公式和二元函数求导法则 点击此处结束放映

6.2 龙格-库塔方法 我们已经知道，Euler方法是一阶方法。它是 在假定yn =y(xn )的情况下，对解曲线y(x)在xn点 Taylor展 开 取线性 部分的 结果 。如 果我们 将 Taylor展开多取几项，就可以得到更高精度的方 法：龙格-库塔（Runge-kutta)方法。 Runge-kutta方法要用到高等数学中的二元 Taylor公式和二元函数求导法则

例4证明对于任意参数,下列格式都是二阶的 h1一 (K2+k3) 2 K=f(xm,y) K2=f(r,+th, n+thk,) K3=f(xn+(1-1)h,yn+(1-1)hK1) 点击此处结束放映

[例4] 证明对于任意参数，下列格式都是二阶的：