高等学校计算机专业教材：《数值计算方法》课程教学资源（PPT课件）第3章 数值积分

第3章数值积分 3.1基本概念 3.2牛顿柯符斯公式 3.3龙贝格算法 3.4高斯么式 点击此处结束放映

第3章 数值积分 3.1 基本概念 3.2 牛顿-柯特斯公式 3.3 龙贝格算法 3.4 高斯公式

31基本概念 1.求积公式的一般形式 我们知道,定积分是求和式的极限 即(d=im∑(5)△x。它的几何意义是曲边梯 形的面积。从定义可知,定积分的基本分析方法是四步, 即分割、近似、求和、取极限。分割就是把总量(整块 曲边梯形面积)分成若干分量(小曲边梯形面积);近 似就是在每个分量中用容易计算的量去代表(这里是用 矩形面积近似曲边梯形面积);求和就是把分量加起来 得到总近似值;最后取极限就得到积分精确值。 点击此处结束放映

3.1 基本概念 1.求积公式的一般形式 我 们 知 道 ， 定积分是求和式的极限 ， 即 。它的几何意义是曲边梯 形的面积。从定义可知，定积分的基本分析方法是四步， 即分割、近似、求和、取极限。分割就是把总量（整块 曲边梯形面积）分成若干分量（小曲边梯形面积）；近 似就是在每个分量中用容易计算的量去代表（这里是用 矩形面积近似曲边梯形面积）；求和就是把分量加起来 得到总近似值；最后取极限就得到积分精确值。 △

把区间[a,b]分割成n等分,分点 b k=a+h,h==△xk(k=0,l,…,n 得到 复化左矩形公式 f(x)dxb∑f(x) k=0 点击此处结束放映

把区间［a，b］分割成n等分，分点 复化左矩形公式 △

复化梯形公式 b f(r)dx=h 只f(x)+f(xk+1) k=0 2 复化辛卜生( Simpson)公式 b hn f(rdx=2((xx)+4f(xx-12)+f(xk+) k=0 点击此处结束放映

这些数值积分公式分别是在子区间 亼κ上用零次插值多项式p(x),一次插值 多项式p1(x),二次插值多项式P2(x)代替被 积函数积分得到,为了讨论方便,我们取n =1。这时: 复化左矩形公式 f(r)dx= Po()dx=(b-a)f(a) 点击此处结束放映

这些数值积分公式分别是在子区间 △xk上用零次插值多项式p0 (x)，一次插值 多项式p1 (x)，二次插值多项式P2 (x)代替被 积函数积分得到，为了讨论方便，我们取n = 1。这时：

复化梯形公式 f(r)dx=l p,(xdx=(b-a) f(a)+f(b) 复化辛卜生( Simpson)公式 b-a atb f(rdx= p2(x) (f(a)+4f(-)+f(b) 2 点击此处结束放映

y=f(x)i Ly=p2(x) B O at b b 图3-1辛卜生公式的几何意义 点击此处结束放映

图3-1 辛卜生公式的几何意义

2.插值型求积么式 如果我们已经有了求积节点x1(k=0,1, ),我们可以把这些点当作插值节点,利用 Lagrange插值方法,构造插值多项式Pa(x),近似 被积函数fx),得到插值型求积公式 f(xdx= p,(xdx ∑(x)f(x)d ∑[4(x)dy(x)=∑4/( k=0 点击此处结束放映

 2. 如果我们已经有了求积节点xk (k=0，1，…， n)，我们可以把这些点当作插值节点，利用 Lagrange插值方法，构造插值多项式Pn (x)，近似 被积函数f(x)

3,代数精度的概念 在讲解代数精度的概念之前,我们不加证明 地给出一个有关定理。 定理1( Weierstrass,定理)设fx)是[a,b]上 的连续函数,则对任意8>0,存在多项式p(x) 使对一切x(a≤b)有/(x)-px)<e。 代数精度的概念是:假如(3.1)式的求积 公式对fx)=1,x,x2,…,x恒精确成立, 而当八x)=x叫+时就不精确成立,我们就称公式 (31)的代数精度为m 点击此处结束放映

 3. 在讲解代数精度的概念之前，我们不加证明 地给出一个有关定理。 定理1（Weierstrass定理）设f(x)是［a，b］上 的连续函数，则对任意ε＞0，存在多项式p(x)， 使对一切x(a≤x≤b)有|f(x)-p(x)|＜ε。 代数精度的概念是：假如（3.1）式的求积 公式对f(x)=1，x，x 2 ，…，x m恒精确成立， 而当f(x)=x m+1时就不精确成立，我们就称公式 （3.1）的代数精度为m

4.值型求积么式与优数精度的关 系 下面的定理建立了插值型求积公式与 代数精度的关系。 定理2式(3.1)的求积公式至少具有 n次代数精度的充分必要条件是 它是插值型的。 点击此处结束放映

 4.插值型求积公式与代数精度的关 下面的定理建立了插值型求积公式与 代数精度的关系。 定理2 式（3.1）的求积公式至少具有 n次代数精度的充分必要条件是 它是插值型的