高等学校计算机专业教材：《数值计算方法》课程教学资源（PPT课件）第4章 线性代数方程组的解法

第4章线性代数方程组的解法 直接法与迭代法各有优缺点,前者由于受到 计算机存储容量的限制,一般来说,仅适于系数 矩阵阶数不太高的问题,其工作量较小,但程序 较复杂。后者主要用于某些系数矩阵阶数较高的 问题,一般来说,程序较为简单,但工作量有时 较大。实际计算时,应根据问题的特点和要求来 决定方法的取舍。 本章介绍的求解线性代数方程组的直接法有 Gaus高斯)消元法和LU分解;迭代法有 Jacobi 迭代和 Gauss-Seidel迭代。 点击此处结束放映

第4章 线性代数方程组的解法 直接法与迭代法各有优缺点，前者由于受到 计算机存储容量的限制，一般来说，仅适于系数 矩阵阶数不太高的问题，其工作量较小，但程序 较复杂。后者主要用于某些系数矩阵阶数较高的 问题，一般来说，程序较为简单，但工作量有时 较大。实际计算时，应根据问题的特点和要求来 决定方法的取舍。 本章介绍的求解线性代数方程组的直接法有 Gauss(高斯) 消元法和LU分解；迭代法有Jacobi 迭代和Gauss-Seidel迭代

4,1高筋消元法 4,2矩U分 3雅可 44高新塞送优 4.5收的性定理 46应用实例 点击此处结束放映

4.1 高斯消元法 4.2 矩阵的LU分解 4.3 雅可比迭代 4.4 高斯-塞德尔迭代 4.5 收敛性定理 4.6 应用实例

4.1高斯消元法 由“线性代数”我们已经知道,对于线 性代数方程组: ∑anx=b(=1,2,…,m)(4.1) Gaus滑消元法的计算步骤分为消元和回 代两个过程,本节的目的是给出Gaus消元 法的符号描述、计算流程图。 点击此处结束放映

4.1 高斯消元法 由“线性代数”我们已经知道，对于线 Gauss消元法的计算步骤分为消元和回 代两个过程，本节的目的是给出Gauss消元 法的符号描述、计算流程图

例2]如果方程组AX=B的系数矩阵A是n阶 对角阵,即当j>1时,a=0或写成 b 试设计一个算法来解这三对角的方程组。 点击此处结束放映

［例2］ 如果方程组AX=B的系数矩阵A是n阶 三对角阵，即当|i-j＞1|时，aij=0

解:假定所有主元均不等于0。在第1 次消元过程中,由于系数矩阵A的第一行 有两个元素不为零,所以只需变动d2 b2并将a1置0。再考虑存储结构,新的d2, b2仍存放在l2,b2所在的单元,即 d2a1c1/d1→l2 b2a1b1/d1→b2 点击此处结束放映

解：假定所有主元均不等于0。在第1 次消元过程中，由于系数矩阵A的第一行 只有两个元素不为零，所以只需变动d2， b2 并将a1置0。再考虑存储结构，新的d2， b2仍存放在d2，b2所在的单元， d2 -a1 c1／d1d2 b2 -a1b1／d1b2

以后各步的消元也仅变动d、b;并 将相应的an1置0。设元素的下标变量 为 根据上述对2的分析,可知第涉 的计算公式为: 1ra1c;1/a1→ bai-1b1/41→b 点击此处结束放映

以后各步的消元也仅变动di、bi 并 将相应的ai-1置0。设元素的下标变量 为i。 根据上述对i=2的分析，可知第i步 di -ai-1 ci-1／di-1 di bi -ai-1bi -1／di-1bi

消元结束后,系数矩阵的非零元素仅 在主对角线和次对角线上出现,求得 → (brCx#1)/d1→x(i=n-1,,1) 设置4个数组分别来存储a;,b,c,d, 算法描述如下: 点击此处结束放映

消元结束后，系数矩阵的非零元素仅 在主对角线和次对角线上出现， bn／dn xn (bi -cixi+1 )／di xi (i=n-1,…,1) 设置4个数组分别来存储ai，bi，ci，di

input (ai) bi), (ci), (di for i=2,3,., n do a1/d1→l d-le→d rlb:1→b end b /dn→ for i=n-1, n-2,-., 1 do ( bice1)/l1→x end output (xi) 点击此处绕束放映

input (ai ),(bi ),(ci ),(di ) for i=2,3,…,n do ai-1／di-1 l di -lci-1  di bi -lbi-1 bi end bn／dn xn for i=n-1,n-2,…,1 do (bi -cixi+1 )／di xi end output (xi )

4.2矩阵的U分解 若矩阵A能分解为几个结构简单 的矩阵乘积时,则求解AX=b的过程 可以简化。 常用的一种分解方法是LU分解。 给定n阶非奇异矩阵A,我们寻求两个 n阶矩阵 点击此处结束放映

4.2 矩阵的LU分解 若矩阵A能分解为几个结构简单 的矩阵乘积时，则求解AX＝b的过程 可以简化。 常用的一种分解方法是LU分解。 给定n阶非奇异矩阵A，我们寻求两个 n阶矩阵

11 l1; 0 0 1 1 使A=LU。 点击此处结束放映

使A=LU