《经济数学》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 导数的应用 3-5-2 最大值与最小值问题

最大值、最小值问题 在生产实践中，为了提高经济效益，必须要 考虑在一定的条件下，怎样才能是2用料最省， 费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问 题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值 问题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值 的存在性；最值的求法。 假定f(x)在[，b]上连续，除去有限个点外 处处可导，且至多有有限个点处导数为0。我们 就在这样的条件下讨论f(x)在[，b]上的最值 的求法

最大值、最小值问题 在生产实践中，为了提高经济效益，必须要 考虑在一定的条件下，怎样才能是2用料最省， 费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问 题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值 问题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值 的存在性 ；最值的求法。 假定f ( x )在[ a , b ]上连续，除去有限个点外 处处可导，且至多有有限个点处导数为0。我们 就在这样的条件下讨论f( x )在[ a , b ]上的最值 的求法

一、最值的求法 首先由闭区间上连续函数的性质f(x)在[M,b] 上必存在最大值和最小值 其次，若最大值（或最小值)在开区间内取得， 则这个最值一定是极值，由假定，这个点一定是 驻点或不可导点；此外最值也可能在区间的端点 处取得，故求连续函数在闭区间上最值的方法是

一、最值的求法 首先由闭区间上连续函数的性质f( x )在[ a , b ] 上必存在最大值和最小值 其次，若最大值（或最小值）在开区间内取得， 则这个最值一定是 极值，由假定，这个点一定是 驻点或不可导点；此外最值也可能在区间的端点 处取得，故求连续函数在闭区间上最值的方法是 o x y o x y a b o x y a b a b

步骤： 1.求驻点和不可导点； 2求区间端点及驻点和不可导点的函数值，比 较大小，那个大那个就是最大值，那个小那个就 是最小值； ymax=maxif(a),f(c),f(cm),f(d),f(d),f(b) (min) (min) 注意：如果区间内只有一个极值，则这个极值就 是最值.最大值或最小值)

步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; max ( ), ( 1 ), , ( ), ( 1 ), , ( ), ( ) (min) max (min) y = f a f c  f cm f d  f dn f b 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)

二、应用举例 例1求函数y=2x3+3x2-12x+14的在-3,4 上的最大值与最小值。 解f'(x)=6(x+2)(x-1) 解方程f'(x)=0,得1=-2，x2=1. 计算f(-3)=23; f(-2)=34; f(1)=7; f(4)=142; 2 1 例2求f(x)=x3-(x2-1)3在-2,2上的最值 2 解 3 3e2-0.2x

二、应用举例 例1 解  f (x) = 6(x + 2)(x −1) . 2 3 12 14 [ 3,4] 3 2 上的最大值与最小值 求函数 y = x + x − x + 的在 − 解方程 f (x) = 0,得 2, 1. x1 = − x2 = 计算 f (−3) = 23; f (−2) = 34; f (1) = 7; f (4) = 142; 例2 求 ( ) ( 1) 3在[ 2,2]上的最值 1 3 2 2 f x = x − x − − 解 f x x (x 1) 2x 3 1 3 2 ( ) 3 2 3 2 1  = − −  − −

24 2(x2-103-x3 3 x3(x2-1)3 令f'(x)=0 得驻点x=± 2 (x2-1=-x2) 易知，在x=0,x=±1处f'(x)不存在 这些点处的函数值为： 0=】仕=日 11 f(±1)=1f(±2)=43-33 比较以上各点处的函数值可知

3 2 3 2 1 3 4 3 2 2 ( 1) ( 1) 3 2 − − − =  x x x x 令 f (x) = 0 得驻点 2 1 x =  ( 1 ) 2 2 x − = − x 易知，在x = 0, x = 1处 f (x)不存在 这些点处的函数值为： 3 1 3 1 3 1 ( 1) 1 ( 2) 4 3 ) 4 2 1 (0) 1 (  =  = − =  = f f f f 比较以上各点处的函数值可知

a=f 1 5)=43 fmin=f(士2)=43-33 在求函数的最值时，特别值得指出的是下述情况： x)在一个区间内可导，且只有一个驻点x,并且 这个驻点x同时也是fx)的极值点，则当fc)是极大 (小)值时，xo)是函数孔x)在该区间上的最大 (小)值。 这是因为此时在x的左、右两侧f'(x)的符号 必定相反，亦即在x的左、右两侧f(x)的单调性 必定相反

3 1 max ) 4 2 1 f = f ( = 3 1 3 1 fmin = f (2) = 4 − 3 在求函数的最值时，特别值得指出的是下述情况： f( x )在一个区间内可导，且只有一个驻点x0，并且 这个驻点x0同时也是f(x)的极值点，则当f(x0 )是极大 （小）值时， f( x0 )是函数 f( x ) 在该区间上的最大 （小）值。 这是因为此时在 x0 的左、右两侧 f (x) 的符号 必定相反，亦即在 x0 的左、右两侧f ( x )的单调性 必定相反

例3 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米分钟的 速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B 处向正东追击速度为2千米/分钟.问我军摩托车 何时射击最好（相距最近射击最好）？ 解 (1)建立敌我相距函数关系 设t为我军从B处发起 追击至射击的时间（分）： 0.5公里 敌我相距函数S(t) 4公里 s(t)=/(0.5+t)2+(4-2t)2 (2)求s=s(t)的最小值点

敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的 速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B 处向正东追击速度为2千米/分钟．问我军摩托车 何时射击最好（相距最近射击最好）？ 例3 解 (1)建立敌我相距函数关系 0.5公里 4公里 B A  追击至射击的时间(分). 设 t 为我军从B处发起 敌我相距函数 s(t) s(t) 2 2 s(t) = (0.5 + t) + (4 − 2t) (2) 求s = s(t)的最小值点

5t-7.5 s'(t)= V(0.5+t)2+(4-2)2 令s'(t)=0, 得唯一驻点t=1.5. 故得我军从B处发起追击后1.5分钟射击最好 实际问题求最值应注意： (1)建立目标函数； (2)求最值； 若目标函数只有唯一驻点，则该点的 函数值即为所求的最（或最小）值

s(t) = . (0.5 ) (4 2 ) 5 7.5 2 2 t t t + + − − 令s(t) = 0, 得唯一驻点 t = 1.5. 故得我军从B处发起追击后1.5 分钟射击最好. 实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值; 函数值即为所求的最 或最小 值． 若目标函数只有唯一驻点，则该点的 ( )

例4某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去.当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费.试问房租定为多少可获得最大收入？ 解 设房租为每月元， 和去的房子有0-(：}） 套， 每月总收入为 R)=6-20(50-700）

例4 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？ 解 设房租为每月 x 元， 租出去的房子有  套，      − − 10 180 50 x 每月总收入为 R(x) = (x − 20)       − − 10 180 50 x

Rx)=x-2068-0) -(c-动x-20i=0- R'(x)=0 →x=350（唯一驻点) 故每月每套租金为350元时收入最高。 及大入为R动=(350-206-30) =10890(元)

      = − − 10 ( ) ( 20) 68 x R x x        + − −       = − 10 1 ( 20) 10 ( ) 68 x x R x 5 70 x = − R(x) = 0  x = 350 （唯一驻点） 故每月每套租金为350元时收入最高。 最大收入为       = − − 10 350 R(x) (350 20) 68 = 10890 (元)