《经济数学》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 函数与极限 1-8 函数的连续性与间断点

第八节函数的连续性与间断点 函数连续性的定义 函数的间断点

第八节 函数的连续性与间断点 二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义

函数连续性的定义 定义：设函数y=f(x)在x。的某邻域内有定义，且 1imf(x)=f(x,),则称函数f(x)在x,连续 x→x0 可见，函数(x)在点x,连续必须具备下列条件 (1)f(x)在点o有定义，即f(xo)存在； (2) 极限limf(x)存在； x→X0 lim f(x)=f(xo) x→x0

一、 函数连续性的定义 可见 , 函数 在点 0 x 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 ( ) . f x 在x0 连续 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ;

若f(x)在某区间上每一点都连续，则称它在该区间上 连续，或称它为该区间上的连续函数 在闭区间[a,b]上的连续函数的集合记作C[a,b] 例如，P(x)=a0+ax++anx” (有理整函数) 在(-0，+0)上连续 又如，有理分式函数R() P(x) (x) 在其定义域内连续 只要Q(x)≠0，都有1imR(x)=R(xo)》 X今X0

continue ( , ), lim ( ) ( ) 0 0 0 x P x P x x x   − +  = → 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . C[a, b]. 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 ( ) 0, Q x0  都有 lim ( ) ( ) 0 0 R x R x x x = →

对自变量的增量Ax=x-0,有函数的增量 △y=f(x)-f(xo)=f(xo+△x)-f(xo)》 函数f(x)在点xO连续有下列等价命题 f)=/)—fo+A)=f】 x→x0 lim△y=0 ↑yy=f(x) △x-→0 △y 三f(x0)=f(xo)=f(x) △x 左连续 右连续 Xx V>0,38>0,当x-x=Ax<8时，有 f(x)-f(x)=△y<6

对自变量的增量 有函数的增量 y = f (x) o x y 0 x x x y lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x +  =  → lim 0 0  =  → y x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − + f x = f x = f x 左连续 右连续   0,   0, 当 x − x0 = x   时, 有 f (x) − f (x ) = y   0 函数 在点 连续有下列等价命题:

二、 函数的间断点 设f(x)在点x,的某去心邻域内有定义，则下列情形 之一函数f(x)在点x,不连续 (1)函数f(x)在x无定义， (2)函数f(x)在x,虽有定义，但1imf(x)不存在 x->Xo (3)函数f(x)在x,虽有定义，且1mf(x)存在，但 x→X0 limf(x)≠f(xo) x-→x0 这样的点x。称为间断点

在 二、 函数的间断点 在 在 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x  → 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 无定义 ;

间断点分类： 第一类间断点： f(x。)及f(x,)均存在， 若f(x。)=f(x,),称x为可去间断点 若f(x,)≠f(x),称x,为跳跃间断点 第二类间断点： f(x。)及f(x)中至少一个不存在， 若其中有一个为o0,称x,为无穷间断点 若其中有一个为振荡，称x。为振荡间断点

间断点分类: 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 0 x 若 称 0 x 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 0 x 若其中有一个为振荡 , 称 0 x 若其中有一个为 , 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点

例如： an x (①)y=tanx X= 为其无穷间断点 1 (2) y=Sin X x=0为其振荡间断点 (3) x2-1 x-1 x=1为可去间断点

例如: 2  x = 为其无穷间断点 . x = 0 为其振荡间断点 . x =1为可去间断点 . o y 1 y = tan x 2  x y o x y x y 1 = sin 0

(4)y=fx)= x,x≠1 ,x=l 1 1 显然mf(x)=1≠f(I) x->1 x=1为其可去间断点 x-1,x≤0 5)y=f(x)=0,x=0 x+1,x>0 f(0)=-1, f(0)=1 x=0为其跳跃间断点

lim ( ) 1 (1) 1 f x f x =  → 显然 x =1 为其可去间断点 .    =  = = , 1 , 1 ( ) 2 1 x x x (4) y f x o 1 x y 2 1 1 (5)     +  = −  = = 1 , 0 0 , 0 1 , 0 ( ) x x x x x y f x x y o 1 −1 (0 ) = −1, − f (0 ) =1 + f x = 0 为其跳跃间断点

内容小结 1.f(x)在点x,连续的等价形式 lim f(x)=f(xo) lim [f(xo Ax)-f(xo)]=0 △x→0 f(xo)=f(xo)=f(xo) 左连续 右连续 2.f(x)在点xo间断的类型 可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 无穷间断点 左右极限至少有一 第二类间断点 振荡间断点 个不存在

内容小结 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一 个不存在 在点 间断的类型 在点 连续的等价形式