《经济数学》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 导数和微分 2-4 隐函数的导数

隐丞数与参量区数微分法 一、隐函数的导数 定义：由方程所确定的函数y=y(x)称为隐函数. y=f(x)形式称为显函数. F(x,y)=0→y=f(x) 隐函数的显化 问题：隐函数不易显化或不能显化如何求导？ 隐函数求导法则： 用复合函数求导法则直接对方程两边求导

隐函数与参量函数微分法 一、隐函数的导数 定义: 由方程所确定的函数 y = y(x)称为隐函数. y = f (x) 形式称为显函数. F(x, y) = 0 y = f (x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导

设F(x,y)=0确定了一元隐函数y=y(x) 将y=y(x)代入F(x,y)=0得W=F[x,y(x)川=0 则=0 dx 两边对x求导，当遇到y的函数fy)时 要求的是 f 】记z=fy) dx z→y→x dk dz dy → =f'(0) dx dy dx dx

设F(x, y) = 0确定了一元隐函数 y = y(x) 将 y = y(x)代入F(x, y) = 0得 u = F[x, y(x)]  0 = 0 dx du 则 两边对 x 求导，当遇到 y 的函数 f(y)时 [ f ( y)] dx d 要求的是 记 z = f ( y) z → y → x dx dy dy dz dx dz  =  dx dy = f ( y)

将求出的这些导数代入血=0 dy dx 得到关于 的代数方程， 解得 =x)即为所求 至于隐函数求二阶导数，与上同理 在少=g(x,)两边再对x求导 dx → 空=C)丙将盘=f代入

将求出的这些导数代入 = 0 dx du 得到关于 dx dy 的代数方程， 解得 g(x, y)即为所求 dx dy = 至于隐函数求二阶导数，与上同理 在 g x y 两边再对 x求导 dx dy = ( , ) ( , , ) 2 2 G x y y dx d y  =  再将 g(x, y)代入 dx dy =

例1求由方程y-e*+e'=0所确定的隐函数 的导数少少 d’d 0. 解方程两边对x求导， -e*+e=0 y dx x 解得 dyex-y dx xter' 由原方程知x=0,y=0, -y x=0 t+ex=01. y=0

例1 , . 0 =0 − + = x x y dx dy dx dy y xy e e 的导数 求由方程 所确定的隐函数 解 方程两边对 x求导, + − + = 0 dx dy e e dx dy y x x y 解得 , y x x e e y dx dy + − = 由原方程知 x = 0, y = 0, 0 0 0 = = = + −  = y y x x x x e e y dx dy = 1

例2设曲线C的方程为x3+y3=3y,求过C上 点的切线方程并证明曲线C在该点的法 线通过原点。 解方程两边对x求导，3x2+3y2y'=3y+3y :.y =y-x2 =-1. y2-x 所求切线方程为一=-化-多 即x+y-3=0. 3 法线方程为y- 2 2 即y=x, 显然通过原点

例2 . ) , 2 3 , 2 3 ( 3 , 3 3 线通过原点 点 的切线方程 并证明曲线 在该点的法 设曲线 的方程为 求 过 上 C C x + y = xy C 解 方程两边对 x求导, 3x + 3 y y = 3 y + 3xy 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( y x y x y − −   = = −1. 所求切线方程为 ) 2 3 ( 2 3 y − = − x − 即 x + y − 3 = 0. 2 3 2 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x, 显然通过原点

例3设x4-y+y4=1,求y"在点(0,1)处的值. 解方程两边对x求导得 4x3-y-灯y'+4y3y'=0 (1) 代入x=0,=得厂=子 将方程(1)两边再对x求导得 12x2-2y'-xy"+12y2(0y')2+4y3y”=0 代入=0=少学将后=6

例 3 1, (0,1) . 设 x4 − xy + y4 = 求y 在点 处的值 解 方程两边对x求导得 4 4 0 (1) 3 3 x − y − xy + y y = 代入 x = 0, y = 1 得 ; 41 1  0 = == yx y 将方程(1)两边再对x求导得 12 2 12 ( ) 4 0 2 2 2 3 x − y − xy  + y y + y y  = 代入 x = 0, y = 1, 得 41 1  0 = == yx y . 161 1  0 = − == yx y

补证反函数的求导法则 设x=p(y)为直接函数，y=f(x)为其反函数 y=f(x)可视为由方程x-p(y)=0确定的一个 隐函数 由隐函数的微分法则 方程x=p(y)两边对x求导得 1=p'(y) 少1 d → dx o'(v)

补证反函数的求导法则 设x = ( y)为直接函数，y = f (x)为其反函数 隐函数 y = f (x)可视为由方程 x −( y) = 0确定的一个 由隐函数的微分法则 方程x = ( y)两边对 x求导得 dx dy 1 = ( y) ( ) 1 dx y dy   =

例4设arctan=nVe2+,求少， d’d 解 方程两边对x求导得 yx-y 1 2x+2y → x2+y2 x2 x2+y2 2vx2+y2 yx-y=x+yy → dy_x+y dx x-y

例 4 2 2 2 2 arctan ln , , dxd y dx dy x y xy 设 = + 求 解 方程两边对x求导得 ( ) 1 1 1 2 2 2 2 2  +  + =    + x y x x y y xy 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 x y x yy x x y y x y x y x + +   + =  −  +  yx − y = x + yy x y x y dx dy −+  =

=1+y)x-y)-(x+y1-y) (x-y)2 2y-2y=2.x+月-(x-月 (x-y)2 (x-y)3 2(x2+y2) (x-y)3 例5求证抛物线√：+√少=√a上任一点的切线 在两坐标轴上的截距之和等于

      − + = x y x y dx d dx d y 2 2 2 ( ) (1 )( ) ( )(1 ) x y y x y x y y − +  − − + −  = 2 ( ) 2 2 x y xy y −  − = 3 ( ) ( ) ( ) 2 x y x x y y x y − + − − =  3 2 2 ( ) 2( ) x y x y − + = 例5 求证抛物线 x + y = a 上任一点的切线 在两坐标轴上的截距之和等于a

证 方程x+√少=√两边对x求导得 1+,1=0 2vx 2ydx 9 =-y dx 故曲线上任一点(x,y)处切线的斜率为 的y =*0 xo 切线方程为y-y=一x,（比- →Vxy+Vyx=Vxy+Vx0

证 方程 x + y = a两边对x求导得 0 2 1 2 1 + = dx dy x y x y dx dy  = − 故曲线上任一点 ( , ) 0 0 x y 处切线的斜率为 x x0 dx dy k = = 0 0 x y = − 切线方程为 ( ) 0 0 0 0 x x x y y − y = − − 0 0 0 0 0 x0  x y + y x = x y + y