《经济数学》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 定积分 5-1-2 定积分的概念与性质

定积分的性质 一、基本内容 对定积分的补充规定： (1)当a=b时，∫f(x)dc=0: (2)当a>b时，f(x)k=-f(x)d. 说明在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小

对定积分的补充规定: （1）当a = b时， ( ) = 0  b a f x dx ； （2）当a  b时， = − a b b a f (x)dx f (x)dx. 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小． 说明 定积分的性质 一、基本内容

性质1 ∫fx)±g(x)=∫f(x)c±∫g(x)d. 证f(x)±g(x)=lim∑Lf(5)±g(5:)l△x 九-→0 i=1 =lim∑f(5)△x,±im∑g(5,)Ac, 0 九→0 i=1 =∫f(x)±g(x)k. (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) j2em-2jfxa

  b a [ f (x) g(x)]dx=  b a f (x)dx  b a g(x)dx . 证   b a [ f (x) g(x)]dx i i i n i =  f  g x = → lim [ ( ) ( )] 1 0    i i n i =  f x = → lim ( ) 1 0   i i n i  g x = → lim ( ) 1 0   =  b a f (x)dx ( ) .   b a g x dx （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1    = = = b a n i b a i n i f i x dx f x dx 1 1 [ ( )] ( )

性质2 ∫f(x)d&=kfx) (k为常数)， 证 kf(x)dk=lim∑f(传)△x, 元0=1 =mk空f5A,=km2f传，)Ax 九-→0 i=1 -k["f(x)dx. 性质1+性质2 得：

性质2   = b a b a kf (x)dx k f (x)dx (k为常数). 证  b a kf (x)dx i i n i = kf x = → lim ( ) 1 0   i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0   i i n i = k  f x = → lim ( ) 1 0   ( ) .  = b a k f x dx 性质1+性质2 得：

[I()+ig(xdx -2对ee+etea 推广： fxds b a i=l i= 即线性组合的定积分等于定积分的线性组合 说明定积分也具有线性运算性质

 + b a [f (x) g(x)]dx   = + b a b a  f (x)dx  g(x)dx 推广：     = = = b a n i n i b a ki f i x dx ki f i x dx 1 1 [ ( )] ( ) 即线性组合的定积分等于定积分的线性组合 ——说明定积分也具有线性运算性质

性质3 假设a<c<b )=+d. 补充：不论α，b,c的相对位置如何，上式总成立 例若a<b<c, (df()(d 则f)k=f)-fxw)d -[f(x)dx+"f(x)dx. (定积分对于积分区间具有可加性)

假设a  c  b  b a f (x)dx   = + b c c a f (x)dx f (x)dx. 补充：不论 a,b,c 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 a  b  c,  c a f (x)dx =  +  c b b a f (x)dx f (x)dx  b a 则 f (x)dx =  −  c b c a f (x)dx f (x)dx ( ) ( ) .   = + b c c a f x dx f x dx （定积分对于积分区间具有可加性） 性质3

性质4∫1k=k=b-a. 性质5（非负性）如果在区间4，b]上f(x)≥0， 则f(x)&≥0.(a<b) 证f(x)≥0，.f(传)≥0，(i=1,2,.,n) △x≥0，.∑f(传)A,≥0， 2=max{△x1,△x2,.,△xn} im2f5ax=fed≥0

dx b a   1 dx b a = = b − a. 性质5（非负性） 如果在区间[a,b]上 f (x)  0， 则 ( )  0  f x dx b a . (a  b) 证  f (x)  0,  ( )  0, i f (i = 1,2,  ,n)   0,  xi ( ) 0, 1      = i i n i f x max{ , , , }  = x1 x2  xn i i n i   f x = → lim ( ) 1 0   ( ) 0.  =  b a f x dx 性质4

例1比较积分值厂ek和xk的大小. 解令f(x)=e'-x, x∈[-2,0] f(x)>0,.,(e*-x)c>0, ,e*>∫k,于是e*k<. 性质5的推论：（比较定理） (1) 如果在区间a,b]上f(x)≤g(x), 则f(x)k≤∫g(x). (a<b) (2)f(x)≤f(x)k.(a<b) 说明：f(x)川在区间[M,b]上的可积性是显然的

例 1 比较积分值 e dx x  −2 0 和 xdx  −2 0 的大小. f (x) e x, x 令 = − x[−2, 0]  f (x)  0, ( ) 0, 0 2  −  − e x dx x e dx x −  0 2 , 0 2 xdx −  于是 e dx x  −2 0 . 2 0 xdx  −  性质5的推论：（比较定理） 则 f x dx b a ( ) g x dx b a  ( ) . (a  b) （1） 如果在区间[a,b]上 f (x)  g(x)， （2） f x dx b a ( ) f x dx b a   ( ) . (a  b) 说明：| f (x)|在区间[a,b]上的可积性是显然的. 解

性质6（估值定理）设M及m分别是函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值， 则m(b-a)≤∫f(x≤M(b-). Em≤f()sM,.m≤f(x)dc≤iM m(b-a）≤f(x)k≤Mb-a). (此性质可用于估计积分值的大致范围) 2估计积分∫血在的值 解 f(x)=si

设M及m分别是函数 f (x)在区间[a,b]上的最大值及最小值， 则 m(b a) f (x)dx M(b a) b a −    − . 证  m  f (x)  M, ( ) ,       b a b a b a mdx f x dx Mdx m(b a) f (x)dx M(b a). b a −   −  （此性质可用于估计积分值的大致范围） 例 2 估计积分 dx x x    2 4 sin 的值. 解 , sin ( ) x x f x = ] 2 , 4 [   x  性质6（估值定理）

f'(x)= xcosx-sinx cosx(x-tanx) <0 x2 x2 x)在亚上单调下降 故x-为极大点，x=为极小点M=骨=22， m=⑨：-a 兀兀元 2447 ssinx 2√2元 ~d≤ 元4 π4 、≤2 2 ≤ 2

2 cos sin ( ) x x x x f x −  = 2 cos ( tan ) x x x − x = f (x)在 ] 2 , 4 [   上单调下降, 故 4  x = 为极大点， 2  x = 为极小点, , 2 2 ) 4 (  =  M = f , 2 ) 2 (   m = f = , 2 4 4  =  −   b − a = , 4 sin 2 2 4 2 2 4             dx x x . 2 sin 2 2 1 2 4       dx x x  0

性质7（定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[α，b]上连续， 则在积分区间4，b]上至少存在一个点5， 使f(x)=f(传)(b-).(a≤专≤b) 积分中值公式 证 'm(b-a)≤f(x)c≤M(b-a) :m≤6afwh≤M 由闭区间上连续函数的介值定理知

如果函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续， 则在积分区间[a,b]上至少存在一个点  ， 使 f x dx b a ( ) = f ( )(b − a). (a    b) 积分中值公式 证 m(b a) f (x)dx M(b a) b a  −    − f x dx M b a m b a  −    ( ) 1 由闭区间上连续函数的介值定理知 性质7（定积分中值定理）