《经济数学》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 定积分 5-4 反常积分

反常积分 在前面所讨时论的定积分事实上是有条件 的：一是积分区间是有限区间，二是被积函数 在积分区间上有界。但实际问题常常要突破这 两个前提，因此需要对定积分作如下两种推广 ：无穷区间上的积分一无穷限积分，无界函 数在有限区间上的积分—无界函数积分或瑕 积分，统称为广义积分或旁义积分，以前讨论 过的定积分称为常义积分

反常积分 在前面所讨论的定积分事实上是有条件 的：一是积分区间是有限区间，二是被积函数 在积分区间上有界。但实际问题常常要突破这 两个前提，因此需要对定积分作如下两种推广 ：无穷区间上的积分——无穷限积分，无界函 数在有限区间上的积分——无界函数积分或瑕 积分，统称为广义积分或旁义积分，以前讨论 过的定积分称为常义积分

一、无穷限的广义积分 定义1设函数f(x)在区间a,+o)上连续，取 b>a,如果极限imf(x)c存在，则称此极 b+00 限为函数f(x)在无穷区间[M,+oo)上的广义积 分，记作f(x)c. [f(x)dx =im ["f(x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散

定 义 1 设函数 f (x) 在区间[a,+)上连续，取 b  a，如果极限  →+  b b a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f (x) 在无穷区间[a,+) 上的广义积 分，记作 + a f (x)dx.  + a f (x)dx  →+  = b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 一、无穷限的广义积分

类似地，设函数f(x)在区间(-0，b]上连续，取 a<b,如果极限imf(x)存在，则称此极 限为函数f(x)在无穷区间(-o∞，b]上的广义积 分，记作”nf(x)dc. ∫fx)k=lim f(x) 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散

类似地，设函数 f (x) 在区间(−,b]上连续，取 a  b，如果极限  →−  b a a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f (x) 在无穷区间(−,b] 上的广义积 分，记作− b f (x)dx. − b f (x)dx  →−  = b a a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散

设函数f(x)在区间(-0，+0)上连续，如果 广义积分f(x)和f(x)都收敛，则 称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间 (-o,+o)上的广义积分，记作nf(x). -limdx+iyd 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散

设函数 f (x) 在区间(−,+) 上连续,如 果 广义积分− 0 f (x)dx 和 + 0 f (x)dx 都收敛，则 称上述两广义积分之和为函数 f (x) 在无穷区间 (−,+)上的广义积分，记作 + − f (x)dx .  →−  = 0 lim ( ) a a f x dx  →+  + b b f x dx 0 lim ( ) 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散

例1计算广义积分 -∞1+x2 解 = d + dx )1+x =▣+典14 6to01+2 -lim[aretanim arctanx →-∞ b)+00 2计算广义积分 解 sin -d

. 1  2 + − + x dx 解  + − + 2 1 x dx − + = 0 2 1 x dx  + + + 0 2 1 x dx  + = →−  0 2 1 1 lim a a dx x  + + →+  b b dx x 0 2 1 1 lim   0 lim arctan a a x →−  =   b b arctan x 0 lim →+  + a a lim arctan →−  = − b b lim arctan →+  + . 2 2 =    +       = − − 例2 计算广义积分 . 1 sin 1 2 2 +  dx x x 解  +  2 1 sin 1 2 dx x x  +        = − 2 1 1 sin x d x 例1 计算广义积分

-tm.Jsin)-co w-co. 例3证明广义积分当p>1时收敛 当p≤1时发散. 证(0p=lc==血m=+o era-任 +∞，p<1

        = − →+  b b x d x 2 1 1 lim sin b b x        = →+  2 1 lim cos       = − →+  2 cos 1 lim cos  b b = 1. 例 3 证明广义积分 + 1 1 dx x p 当 p  1时收敛， 当 p  1时发散. 证 (1) p = 1,  + 1 1 dx x p  + = 1 1 dx x   + = 1 ln x = +, (2) p  1,  + 1 1 dx x p + −       − = 1 1 1 p x p       − +   = , 1 1 1 , 1 p p p

因此当p>1时广义积分收敛，其值为 p-1 当p≤1时广义积分发散. 例4证明广义积分∫e当p>0时收敛， 当p0时收敛，当p<0时发散

因此当p  1时广义积分收敛，其值为 1 1 p − ； 当 p  1时广义积分发散. 例 4 证明广义积分 + − a p x e dx当 p  0时收敛， 当 p  0时发散. 证  + − a px e dx  − →+ = b a px b lim e dx b a px b p e       = − − →+  lim       = − − − →+  p e p e pa pb b lim         = − , 0 , 0 p p p e ap 即当p  0时收敛，当p  0时发散

二、无界函数的广义积分 定义2设函数f(x)在区间(4，b]上连续，而在 点的右邻域内无界.取ε>0，如果极限 Iim心ef(x)dc存在，则称此极限为函数f(r) 6→+0。 在区间(a,b上的广义积分，记作f(x)d. fx=limefx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散

定义 2 设函数 f (x)在区间(a,b]上连续，而在 点a 的右邻域内无界．取  0 ，如果极限 →+  + b a f x dx   lim ( ) 0 存在，则称此极限为函数f (x) 在区间(a,b]上的广义积分，记作 b a f (x)dx.  b a f (x)dx →+  + = b a f x dx   lim ( ) 0 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 二、无界函数的广义积分

类似地，设函数f(x)在区间，b)上连续， 而在点b的左邻域内无界.取ε>0，如果极限 mf(x)c存在，则称此极限为函数厂) 在区间M,b)上的广义积分， 记作f(x)=imf(x). 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 设函数f(x)在区间4，b]上除点c(M<c<b)外连 续，而在点c的邻域内无界.如果两个广义积分 f(x)c和f(x)都收敛，则定义

类似地，设函数 f (x) 在区间[a,b) 上连续， 而在点b 的左邻域内无界.取  0 ，如果极限  − →+   b a lim f (x)dx 0 存在，则称此极限为函数f (x) 在区间[a,b)上的广义积分， 记作 b a f (x)dx  − →+ =   b a lim f (x)dx 0 . 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 设函数 f (x)在区间[a,b]上除点c (a  c  b)外连 续，而在点c 的邻域内无界.如果两个广义积分  c a f (x)dx和 b c f (x)dx都收敛，则定义

Cf(x)dx=∫if(x)dx+∫f(x)dx n(d()d 否则， 就称广义积分f(x)c发散 定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分. 例5计算广义积分 x (a>0. 解 lim- =+00, x→a-0/a2-x2 ∴.x=为被积函数的无穷间断点 dx -8 dx a2-x2 lim[" 8-→+0J0 Va2-x2

 b a f (x)dx =  c a f (x)dx+  b c f (x)dx  − →+ =   c a lim f (x)dx 0  +  →+ + b c f x dx   lim ( ) 0 否则，就称广义积分 b a f (x)dx发散. 定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分. 例5 计算广义积分 ( 0). 0 2 2  −  a a x a dx 解 , 1 lim 2 2 0 = + x→a− a − x   x = a为被积函数的无穷间断点.  − a a x dx 0 2 2  − →+ − =   a a x dx 0 2 2 0 lim