《经济数学》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 定积分应用 6-2-1 定积分的几何应用

第二节定积分的几何应用 一、平面图形的面积 1直角坐标系 作为一般情况讨论，设平面图形由【，b] 上连续的两条曲线y=f(x)与y=g(x) (f(x)≥g(x)及两条直线x=Mx=b所围成 在[a,b】上任取典型小区间[x+dk] 与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量A

第二节 定积分的几何应用 一、平面图形的面积 1 直角坐标系 作为一般情况讨论，设平面图形由 [ a , b ] 上连续的两条曲线 y = f ( x ) 与 y = g ( x ) ( f (x)  g(x)) 及两条直线 x =a ,x =b 所围成 在 [a ,b ] 上任取典型小区间[ x ,x+dx ] 与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量dA

当dx很小时 y=f(x) dA可用高为f(x)-g(x) 底为dx的矩形面积 近似表示即 y=g(x) dA=If(x)-g(x)ldx 故仁j-gM xx+(px b

dA 可用高为 f (x) − g(x) 底为 dx 的矩形面积 近似表示 即 dA = [ f (x) − g(x)]dx 故  = − b a A [ f (x) g(x)]dx a b y = f (x) y = g(x) x x + dx 当 dx 很小时

2 例1求两曲线 y= 2+1 y=x2 所围成的图形的面积 解为确定图形的存在区间 由联立方程组解得交点A(-1,1)B（1,1) xe-1,1川 、2 ≥2 ,2 x2+1 故A= ,x2+1 -x2) =(2 arcta.x-H=元-子 3

1 2 2 + = x y 2 y = x 所围成的图形的面积 解 为确定图形的存在区间 由联立方程组解得交点 A（-1，1） B（1，1） x [−1,1] 2 2 1 2 x x  + 故  − − + = 1 1 2 2 ) 1 2 ( x dx x A 1 1 3 ) 3 1 = (2arctan − − x x 3 2 =  − 例1 求两曲线

例2计算y2=2xy=x-4所围图形的面积 解首先定出图形所在的范围 y2=2x解得交点为(2,2)和(8,4) y=x-4 若取x为积分变量在比，x+x上取部分量 则对于x的不同值局部量的位置不同其 上、下曲边有多种情况运用上述公式计算 较为复杂 如下图

y 2x 2 = y = x − 4 所围图形的面积 解 首先定出图形所在的范围 y x y x 2 4 2 = = − 解得交点为（2，-2）和（8，4） 若取 x 为积分变量 在 [x,x+dx] 上取部分量 则对于 x 的不同值局部量的位置不同 其 上、下曲边有多种情况运用上述公式计算 较为复杂 如下图 例2 计算

但若将这一面积看作是分布在区间[-2,4上 以y为变量计算将会简单 在-2,4上任取一小区间y,y+ 其上相应的窄条左、右曲边分别为 =2,x=y+4 →A=U+4-2=18

以 y 为变量计算将会简单 在[-2,4] 上任取一小区间 [ y, y + dy] 其上相应的窄条左、右曲边分别为 , 4 2 1 2 x = y x = y + ) 18 2 1 ( 4 2 4 2  = + − =  − A y y dy 但若将这一面积看作是分布在区间 [ -2，4] 上

由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体 特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使 计算简化 上述问题的一般情况是 x=v(y 平面区域由c,d上连续的曲线4 x=o(v),x=v(y) (p(y)≤(y) =b(门) 及直线y=cy=d所围成 则其面积 3A-SIv(y)-o()ldy

由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体 特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使 计算简化 上述问题的一般情况是 平面区域由 [c,d] 上连续的曲线 x = ( y), x = ( y) (( y) ( y)) 及直线y = c ,y = d 所围成 则其面积为  = − d c A [( y) ( y)]dy c d y + dy y x = ( y) x = ( y)

当直角坐标系下的平面区域的边界曲线 由参数方程的形式给出时，只须对面积计算 公式作变量代换即可。 [x=o(t) (a≤ts) y=v(t) A-Jyde IJy()dl 计算时应注意积分限在换元中应保持与原积 分限相对应

当直角坐标系下的平面区域的边界曲线 由参数方程的形式给出时，只须对面积计算 公式作变量代换即可。 (  t   )   = =  b a A ydx t t dt   |  ( ) ( ) | 计算时应注意积分限在换元中应保持与原积 分限相对应。    = = ( ) ( ) y t x t  

x=acos0 例3求椭圆 {y=bsin0 (0≤0≤2π)的面积 解 由对称性面积A等于椭圆在第一象限内的 部分的面积的4倍 即A=4 0 =-4 absin20d0=πab 2

例3 求椭圆    = =   sin cos y b x a (0    2 ) 的面积 解 由对称性 面积A等于椭圆在第一象限内的 部分的面积的4倍 即 =  a A ydx 0 4  = − = 0 2 2 4 sin  ab d ab

例4设f(x)在Ia,b]上连续，在(a,b)内有 f'(x)>0证明存在唯一的5∈(a,b) 使曲线∫(x)与两直线x=4y=f() 所围图形的面积S,是y=f(x)与两直线 x=by=(5)所围图形面积S,【 的3倍 正-j5-e S S,=jf(x)-f传d 5

设 f ( x ) 在 [ a ,b ] 上连续，在 ( a, b ) 内有 f (x)  0 证明 存在唯一的  (a,b) 使曲线 f（x ）与两直线 x = a y = f ( ) 所围图形的面积 S1 是 y = f ( x ) 与两直线 x = b y = f ( ) 所围图形面积 S2 的3倍  f ( ) S1 证 S2  = −   a S [ f ( ) f (x)]dx 1  = − b S f x f dx  [ ( ) ( )] 2 例4

令F=jfe-Jes-3fe-fo F()=f(O(t-a)-Jf(x)dx-3Jf(x)dx+3f()0b-t) F(a)-3jlf(x)-f(a)ldx0 故由零点定理知35∈(a,b)年()=0」 又 F(t)=f'(t)t-u+3b-3t)=f'(t)b-a+2(b-t)>0 故5唯一

  = − − − t a b t F(t) [ f (t) f (x)]dx 3 [ f (x) f (t)]dx   = − − − + − t a b t 则F(t) f (t)(t a) f (x)dx 3 f (x)dx 3 f (t)(b t)  = − −  b a F(a) 3 [ f (x) f (a)]dx 0  = −  b a F(b) [ f (b) f (x)]dx 0 故由零点定理知  (a,b) 使F( ) = 0 又 F(t) = f (t)(t − a + 3b − 3t) = f (t)(b − a + 2(b − t))  0 故 唯一 令