《经济数学》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 定积分应用 6-1 定积分的元素法

第六章定积分应用

第六章 定积分应用

上一章，已经系统地介绍了定积分的基本 理论和计算方法。在这一章中，将利用这些知 识来分析解决一些实际问题。定积分的应用很 广泛，在自然科学和生产实践中有许多实际问 题最后都归结为定积分问题。本章不仅对一些 几何物理量导出计算公式，更重要的是介绍运 用“微元法”将所求的量归结为计算某个定积 分的分析方法。 重点 微元法，面积，弧长，旋转体的体积，定 积分在物理方面的应用

上一章，已经系统地介绍了定积分的基本 理论和计算方法。在这一章中，将利用这些知 识来分析解决一些实际问题。定积分的应用很 广泛，在自然科学和生产实践中有许多实际问 题最后都归结为定积分问题。本章不仅对一些 几何物理量导出计算公式，更重要的是介绍运 用“微元法”将所求的量归结为计算某个定积 分的分析方法。 重点 微元法，面积，弧长，旋转体的体积，定 积分在物理方面的应用

难点微元法，参数方程确定的曲线所围的 面积，定积分在物理方面的应用。 基车要求 ①正确理解和掌握微元法的基本思想，并 会灵活运用它。 ②会用直角坐标、极坐标、参数方程所给出 的三种求积公式求出一些常见图形的面积。 ③会求旋转体的体积 ④会求平面曲线的弧长 ⑤会用定积分解决物理方面的实际问题

微元法，参数方程确定的曲线所围的 面积，定积分在物理方面的应用。 基本要求 ①正确理解和掌握微元法的基本思想，并 会灵活运用它。 ②会用直角坐标、极坐标、参数方程所给出 的三种求积公式求出一些常见图形的面积。 ③会求旋转体的体积 ④ 会求平面曲线的弧长 ⑤会用定积分解决物理方面的实际问题。 难点

第一节定积分的微元法 通过对不均匀量（如曲边梯形的面积， 变速直线运动的路程)的分析，采用“分 割、近似代替、求和、取极限”四个基本 步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积 分的概念，我们发现，定积分是确定众多 的不均匀几何量和物理量的有效工具。那 么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？ 我们先来回顾一下前章中讲过的方法和步 骤是必要的

通过对不均匀量（如曲边梯形的面积， 变速直线运动的路程）的分析，采用“分 割、近似代替、求和、取极限”四个基本 步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积 分的概念，我们发现，定积分是确定众多 的不均匀几何量和物理量的有效工具。那 么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？ 我们先来回顾一下前章中讲过的方法和步 骤是必要的。 第一节 定积分的微元法

设量U非均匀地分布[a,b]上求U的步骤 分用分点4=X<X1<<Xn<Xn=b将 区间分成n个小区间[x-x,代，=x:-x 粗 把U在小区间上的局部量4U 用某个函数f(x)在5(5：∈[x-1,x) 的值与：，之积代替U:≈f(5)x: 和把局部量的近似值累加得到总量 的近似值 即 U=∑4U,≈∑f5)x i=

求Ｕ的步骤 分 用分点 a x x x x b n n =     = 0 1  −1 将 区间分成n个小区间 1 1 [ , ], i− i i = i − i− x x x x x 粗 把Ｕ在小区间上的局部量 Ui 用某个函数 f ( x) 在 ( [ , ]) i i i 1 i x x  −   的值与 xi 之积代替 i i i U  f ( )x 和 把局部量的近似值累加得到总量 的近似值 即   = = =  n i i i n i i U U f x 1 1  ( ) 设量Ｕ非均匀地分布[ a ,b ]上

精 =max Axi 1≤isn U=∑f5)4,=jfx) 九→0 由此可知，若某个非均匀量U在区间[a,b]上 满足两个条件： (1)总量在区间上具有可加性，即把区间 分成几个小区间时总量就等于各个小区间上 的局部量之和， (2)局部量可用f(5)化，近似表示 它们之间只相差一个4x,的高阶无穷小 不均匀量U就可以用定积分来求得

xi i n  max 1  =   = → = = n i b a U f i xi f x dx 1 0 lim ( ) ( )  由此可知，若某个非均匀量Ｕ在区间[a,b]上 满足两个条件： （1） 总量在区间上具有可加性，即把区间 分成几个小区间时总量就等于各个小区间上 的局部量之和， （2）局部量可用 i i f ( )x 近似表示 它们之间只相差一个 xi 的高阶无穷小 不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得 精

这是建立所求量的积分式的基本方法 分析其实质，不难将四步简化为两步 第一步“分割取近似 含“分”、“粗”两步即将区间分成子区间 在其上用均匀变化近似代替非均匀变化 求得局部量的近似值4U:≈f(5)x: 它对应着积分表达式中的被积式f(x)血 第二步“求和取极限” 含“和”、“精”两步：各局部量的近似 值相加并取极限得到总量的准确值

分析其实质，不难将四步简化为两步 第一步 “分割取近似 ”含“分”、“粗”两步即将区间分成子区间 在其上用均匀变化近似代替非均匀变化 求得局部量的近似值 i i xi U  f ( ) 它对应着积分表达式中的被积式 f (x)dx 第二步“求和取极限” 含“和”、“精”两步: 各局部量的近似 值相加并取极限得到总量的准确值 这是建立所求量的积分式的基本方法

即对被积式作积分U=了f I。求微元 写出典型小区间K,x+]cM,b] 上的局部量△U的近似值 dU f(x)dx 这就是局部量的微元 IⅡ。求积分 即把微元dUU在区间[a,b]上

即对被积式作积分  = b a U f (x)dx Ⅰ。求微元 写出典型小区间 [x, x + dx] [a,b] 上的局部量 U 的近似值 dU = f (x)dx 这就是局部量的微元 Ⅱ。求积分 即把微元 dU 在区间 [ a , b ] 上

“无限积累”起来相当于把f(x) 作积分表达式求它在[a,b]上的定积分 即U=了f(h 这就是微元法

相当于把 f (x)dx 作积分表达式 求它在 [ a , b ] 上的定积分 即  = b a U f (x)dx 这就是微元法 “无限积累”起来