《突变函数》课程教学资源（讲义）第三章 测度论（3.3）可测集的结构

实变函数 第三章测度论 第三节可测集的结构

第三节 可测集的结构 第三章 测度论

例区间D是可测集,且m/ 证明见书本p66 零集、区间、开集、闭集、G型集(可数个开集的交) 型集(可数个闭集的并)、 Borel型集(粗略说:从开集出发 通过取余,取交或并(有限个或可数个)运算得到)都是可测集。 注:开集、闭集既是G型集也是F型集 有理数集是F型集,但不是G型集 无理数集是G型集,但不是F型集。 有理数集可看成可数个单点集的并,而单点集是闭集; 通过取余G型集与型集相互转化(并与交,开集与闭集互换

注：开集、闭集既是 型集也是 型集； 有理数集是 型集，但不是 型集； 无理数集是 型集，但不是 型集。 G G G F F F 有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集； 通过取余 G 型集与 F 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换） 例 区间 I 是可测集，且 F 注：零集、区间、开集、闭集、 G 型集（可数个开集的交）、 型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发 通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。 证明见书本p66 mI =| I |

2.可测集与开集、闭集的关系 (1)若E可测,则∨E>0,开集G, 使得EcG且m(G-E)0,闭集F, 使得F<E且m(E-F)<E

2. 可测集与开集、闭集的关系 即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集 （可测集“差不多”就是开集或闭集）， 从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。    −     ( ) (1) 0, E G m G E E G 使得 且 若 可测，则 开集 ，    −     ( ) (2) 0, F E m E F E F 使得 且 若 可测，则 闭集

(1)若E可测,则VE>0,开集G(2)若E可测,则∨E>0,彐闭集F 使得EcG且m(G-E)0开集G,使得ECG且m(G-E)<E 取F=G,则F为闭集FcE 且m(E-F)=m(E∩F m((e)nF)=m(F-e )=m(g-e)<a

证明：若(1)已证明，由Ec可测可知   0,  ( − )   c c 开集G，使得E G且m G E =  = − = −   − =  (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c c c c c c m E F m F E m G E 且m E F m E F 取F=G c，则F为闭集 F  E    −     ( ) (1) 0, E G m G E E G 使得 且 若 可测，则 开集 ，    −     ( ) (2) 0, F E m E F E F 使得 且 若 可测，则 闭集

(1)若E可测,则vE>0开集G,使得EcG且m(G-E)0,3开区间列l},使得Ec∪1且mE≤∑|l|≤mE+E 令G=∪L,则G为开集,EcG,且 mE≤mGs∑m,s∑l|mE+6 从而(这里用到mE<+0) m(G-e)=mG-mE<&

(1).若E可测，则 证明:(1)当mE<+∞时，由外测度定义知   0,开集G，使得E  G且m(G−E)   1 1 1 , | | i i i i i i G I G E G mE mG mI I mE   =   = = =       +   令 则 为开集， ，且 m(G − E) = mG − mE   从而（这里用到mE<+∞ ）        +   =  = I E I m E I m E i i i i i * 1 * 1 0, 开区间列{ },使得 且 | |

(2)当mE=+∞时, 这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并: E=E(mE1<+∞) 对每个E应用上述结果 日开集G,使得ECG且m(G-E)<是 令G=UG,则G为开集,EcG,且 m(G-E)=m(UG:-UE)=m(U(G -UE) m(U(G-E)∑m(G-E)≤∑<E =」

令G Gi 则G为开集，E G，且 i =    = , 1     −  −   − =  − =  −    =  =  =  =  =  =  = 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ( )) (( ) ( ) ( ) ( ( )) i i i i i i i i i i i i i i i m G E m G E i m G E m G E m G E i Gi Ei Gi m Gi Ei 2 ( )  开集 ，使得  且 −  对每个Ei应用上述结果 ( ) 1 =   +  = i i i E E mE (2)当mE=+∞时， 这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：

例设EcR",若VE>0开集G,使得EcG 且m(G-E)<,则E是可测集 证明:对任意的1m, 开集G,使得ECGn且m'(Gn-E)< 令O=0G,则O为G型集,EcO且 m(O-B)≤m(Gn-E)≤l,n=123 故m(O-E)=0 从而E=O-(0-E)为可测集

例 m  (O − E)  m  (Gn − E)  1 n ,n =1,2,3,  1 n n O G O G  = 令 =   ，则 为 型集，E O且 且 ，则 是可测集。 设 ，若 开集 ，使得 m G E E E R G E G n   −        ( ) 0, m O E ( ) 0  故 − = 从而E O O E = − − ( )为可测集 Gn E Gn m Gn E n 1   ( − )  开集 ，使得 且  证明：对任意的1/n

例:设E为[0,1]中的有理数全体,试各写出一个与E只相差一小 测度集的开集和闭集。 E={;,2,,} 开集:G=(x声不 闭集:空集 例:设巨*为[0,1中的无理数全体,试各写出一个与E*只相差 测度集的开集和闭集。 开集:(0,1) 闭集:F=01-(-,+)

例：设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一小 测度集的开集和闭集。 例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一小 测度集的开集和闭集。 { , , , } E = r1 r2 r3  开集: (0,1) 闭集： [0,1] ( 1 , 1 ) 2 2 1 = − − + + +  = i i i i i F r r   ( 1 , 1 ) 2 2 1 =  − + + +  = i i i i i G r r 开集：   闭集：空集

3可测集与G集和园集的关系 (1).若E可测,则存在G型集O,使 ECO且mO-E)=0 可测集可由G型集去掉一零集 或F型集添上一零集得到。 (2)若E可测,则存在型集H,使 HcE且m(E-H)=0

3. 可测集与 G 集和 F 集的关系 G F 可测集可由 型集去掉一零集， 或 型集添上一零集得到。 H  E且m(E − H) = 0 (2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 E  O且m(O−E) = 0 (1).若E可测，则存在 G 型集 O, 使

(1)若E可测,则存在国型集O,使EcO且M(O-E)=0 (2)若E可测,则存在型集H使HcE且mE-H)=0 证明:若(1)已证明,由E可测可知 G型O,使得E°cO且m(O-E)=0 取H=O,则H为F型集,HcE且 m(E-H)=m(E∩H) m((e)nh)=m(H-E)=mo-E )=0

  ( − ) = 0 c c G 型O，使得E O且m O E (( ) ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) =  = − = − = − =  c c c c c c c m E H m H E m O E m E H m E H E  O且m(O−E) = 0 F H  E且m(E − H) = 0 G (1).若E可测，则存在 型集 O, 使 (2).若E可测，则存在 型集H, 使 证明：若(1)已证明，由Ec可测可知 取H=O c，则H为 F 型集 ， H  E 且