《突变函数》课程教学资源（讲义）第二章 点集（2.2）开集与闭集

实变函数 第二章点集 第二节开集与闭集

第二节 开集与闭集 第二章 点集

4开集、闭集 若E°=E,则称E为开集(E中每个点都为内点) 若E=E,则称E为闭集(与E紧挨的点不跑到E外) P为E的接触点:Vδ>0,有Opo)E≠Φ oP为E的聚点:V6>0,有O(p)(E-{po})≠Φ oP为E的内点:36>0,使得Op 由于E=EE=E{E的孤立点全体} 故E=E等价于ECE 说明:要证E是开集,只要证ECE因为EE显然) 要证E是闭集,只要证E'cE或ECE(因为EcE显然)

⒋开集、闭集 ⚫P0为 E的接触点： ⚫P0为 E的聚点： ⚫P0为 E的内点：   O( p , )  E   0 0,  有    O( p , )  E 0 0,  使得    0, ( , ) ( −{ 0 })   0  有O p  E p E E E E E E E E E =  =  =  ' ' ' { } 故 等价于 由于 的孤立点全体 说明：要证E是开集，只要证 要证E是闭集，只要证 E  E (因为E  E显然)   E' E或E  E(因为E  E显然) E = E 若Eº = E , 则称E为开集（E中每个点都为内点) 若 ,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）

例:开区间(a,b)为开集 证明:任取ⅹ∈(a,b,取δ=min{kal,kx-b} 01x8)c(a,b 从而x是(a,b)的内点, 故(ab)是开集。 说明:要证E是开集,只要证EcE(因为EcE显然)

例：开区间(a,b)为开集 说明：要证E是开集，只要证 E  E (因为E  E显然)   a x b ( , ) O( x, )  a b 证明：任取x∈(a,b),取δ=min{|x-a|,|x-b|}, 则 , 从而x是（a,b）的内点， 故(a,b)是开集

例:闭区间[ab为闭集 证明:任取x∈[ab,取6=min{ x-a, x-b}, 则OaC[a,b, 从而x不是[a,b]的接触点, 从而[a,b]的接触点都在[ab]内 从而[a,b]是闭集。 说明:要证E是闭集,只要证 E'cE或Ec(E)或ECE或Ec(E)(因为EcE显然)

例：闭区间[a,b]为闭集 说明： 要证E是闭集，只要证 ' ' ( ) ( ) ( ) c c c c E E E E E E E E E E      或 或 或 因为 显然 a b x c O x [a,b] ( , )  证明：任取x∈[a,b]c ,取δ=min{|x-a|,|x-b|}, 则 , 从而x不是[a,b]的接触点， 从而[a,b]的接触点都在[a,b]内， 从而[a,b]是闭集

注:闭集为对极限运算封闭的点集 即:A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点 若E=E(或EcE〉,则称E为闭集 (与E接近的点不跑到E外) 利用 P为E的接触点的充要条件为存在E中点列mn,使得mP=P D是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{使邮m=P

注：闭集为对极限运算封闭的点集 ⚫ 即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点 利用： p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn}, 使得 或 p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{pn}, 使 得 0 lim pn p n = → 0 lim pn p n = → 若 （或 ）,则称E为闭集。 （与E接近的点不跑到E外） E = E E  E

E为开集 证明:只要证Ec(E) 任取x∈E,由内点的定义知6>0使得OacE 任取y∈O (x,6) 取6"=6-d(x,y) 则 (y,6) O (x,6) E 从而y为E的内点,从而OoCE 所以x为E的内点,即x∈(E) (y,6) 从而Ec(E"),即E为开集 注:E为含于E内的最大开集 x,)

Eº为开集 注： Eº为含于E内的最大开集 从而E   (E  )  ，即E  为开集 则O( y, ')  O( x, )  E O( y, ') E  O(x, )  E   x(E ) 从而y为E的内点，从而 所以x为Eº的内点，即    证明：只要证 E  (E ) O( x, )   0,使得O( x, )  E  任取 x E ，由内点的定义知 O( x, ) 任取 y  ，取  ' =  − d(x, y)

E`为闭集 (x,) 证明:只要证(E)ycE 任取x∈(E),由聚点的定义知 E (x2") V8>0,有O1x6)∩(E-{x})≠Φ 取∈O1,(E-(),由x∈E 知V6>0.有O11(E-{x"})≠中 (当6<min{6-d(x,x)(x)时,有xEOO

E`为闭集   0,有O( x, ) (E'−{x})   O( x, ) ( ', ') ( ', ') ( , ) ' 0, ( { '}) ( ' min{ ( , '), ( , ')} x x x O E x d x x d x x O O          −    −   知 有 当 时,有x ） E O( x' , ') ( , ) ' ( ' { }) ' ' x 取x O E x x E   −   ，由 (E')' E' x(E')' 证明：只要证 任取 ，由聚点的定义知

E`为闭集 (x,) 知8>0,有O1x(E-{x})≠① (当6”<min6-(x,x)d(x,x)时,有xgO1=O E x,o") 从而Q0(E-{x)≠① 即X为E的聚点,从而(EycE 利用(E)=(E∪E")=E\(E)EUE=EcE 可得E为闭集 注:E为包含E的最小闭集

E`为闭集 注： E 为包含E的最小闭集 ( ', ') ( ', ') ( , ) ' 0, ( { '}) ( ' min{ ( , '), ( , ')} x x x O E x d x x d x x O O          −    −   知 有 当 时,有x ） 可得 为闭集 利用 E (E)'= (E  E')'= E'(E')' E'E' = E' E O( x' , ') O( x, ) E O( x, ) (E −{x})   (E')' E' 从而 即x为E的聚点，从而

(2)开集与闭集的对偶性 a(E)=(E)(E)=(E) b若E为开集,则E为闭集 若E为闭集,则E为开集。 P为E的接触点:V6>0,有On∩E≠ P为E的聚点:V6>0.有Om06∩(E-{P)≠ P为E的内点:6>0,使得OmCE P为E的外点:目>使得Q∩E=①即O∈E

⑵开集与闭集的对偶性 ⚫P0为 E的接触点： ⚫P0为 E的聚点： ⚫P0为 E的内点： ⚫P0为 E的外点：   O( p , )  E   0 0,  有    O( p , )  E 0 0,  使得    0, ( , ) ( −{ 0 })   0  有O p  E p c   O( p , ) E =  O( p , )  E 0 0 0, ,  使得  即  b.若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集。 c c c c (E) (E ) (E ) (E )   a. = =

开集的余集是闭集 证明:设E为开集,即以x∈E36>0使得O1B 从而Qa∩EC= 从而x不是E的接触点, 也即F的接触点一定在E内, 从而CE=CE,即E为闭集。 P为E的接触点:6>0.有O(m6E≠Φ P为E的内点6>0,使得OE

开集的余集是闭集 ⚫P0为 E的接触点： ⚫P0为 E的内点：   O( p , )  E   0 0,  有    O( p , )  E 0 0,  使得  CE = CE 从而x不是Ec的接触点， 也即Ec的接触点一定在Ec内， 从而 ，即Ec为闭集。 证明：设E为开集，即 x E,  0,使得O( x, )  E ( , ) c 从而 O E x   = 