《突变函数》课程教学资源（讲义）第二章 点集（2.1）n维欧氏空间

实变函数 第二章点集 第一节n维欧氏空间

第一节 n维欧氏空间 第二章 点集

1度量空间 ●定义:设X为一非空集合,d:X×X→R为一映射, 且满足 (1)d(xy≥0,dxy)=0当且仅当x=y(正定性) (2)dxy)=d(yx)(对称性) (3)dxy)≤d(xz)+d(zy)(三角不等式) 则称(Xd)为度量空间

⒈度量空间 ⚫ 定义：设X为一非空集合，d : X×X→R为一映射， 且满足 ⑴ d(x,y)≥ 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性） ⑵ d(x,y)=d(y,x) （对称性） 则称(X,d)为度量空间. ⑶ d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）

例 0欧氏空间(Rn,d)其中1(x,)=(x-yy i=1 (2)离散空间(X,d),其中 d(,y)=o r 3C间(Cp表示闭区间ab上实值连 续函数全体),其中 d(, y)=max x(t)-y(t acts

例： ⑶ C[a,b]空间(C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值连 续函数全体), 其中 d(x, y) max | x(t) y(t)| a t b = −   = = − n i i i d x y x y 1 2 ⑴欧氏空间（ ( , ) ( ) R n , d）,其中 x y x y d x y  = = 1 0 ( , ) { ⑵离散空间(X , d)，其中

2欧氏空间中各类点的定义 点P的邻域:Om={p(P,p)0有O(n∩E≠① 记E为E的闭包(接触点全体) P为E的聚点:>0有O(E-)≠4 记E为E的导集(聚点全体)接触点、聚点 不一定属于E P为E的狐立点:6>0使得O1nE=n E=E∪{E的孤立点全体}=E∪E 孤立点一定属于E

⒉欧氏空间中各类点的定义 E = E  E = E  E ' ' { 的孤立点全体} 接触点、聚点 不一定属于E 孤立点一定属于E { | ( , ) } 点P O( p0 , ) = p d p0 p   0的δ邻域：   O( p , )  E   0 0, P  有  0为 E的接触点：   0, ( , ) ( −{ 0 })   0 P  有O p  E p 0为 E的聚点： 0, { } P0为 E的孤立点：   使得O( p0 , )  E = p0 记 E 为 E的闭包（接触点全体） 记 E' 为 E的导集（聚点全体）

欧氏空间中各类点的定义 P为E的内点:8>0.使得OnCE 记E为E的内部(内点全体) 内点一定属于E P为E的外点:6>0使得On2E=0 P为E的内点:即>0.使得Om=E P为E的边界点:下6>0有O10∩E≠①且Qm6E≠① 记E为E的边界(边界点全体)边界点不一定属于E

欧氏空间中各类点的定义 边界点不一定属于E 内点一定属于E c   O( p , )  E 0 0, P0为 E 即  使得  c的内点:   O( p , )  E 0 0, P0为 E的内点：  使得    O( p , )  E =  0 0, P  使得  0为 E的外点：         c O( p , ) E O( p , ) E 0 0 0, P  有  且  0为 E的边界点：  记 E 为 E的内部（内点全体） 记E 为 E的边界（边界点全体）

注:接触点、聚点、边界点不一定属于E, 内点、孤立点一定属于E。 由定义可知E=E∪{2的狐立点全体}=EUE=E∪DE 例(1)令E=Q E=E=OE=RE°= (2)令E=11213,1k…则E=间 对一切1/k(k=1,2,3,…,)均为E的孤立点 接触点、聚点表示它与集合紧挨 内点表示它周围的点都在集合内

注：接触点、聚点、边界点不一定属于E， 内点、孤立点一定属于E。 例（1）令 E = Q ， 则 = =  = =   E E E R E ' （2）令E={1,1/2,1/3,…，1/k,…},则 对一切1/k (k=1,2,3, …)均为E的孤立点。 {0} ' E = 接触点、聚点表示它与集合紧挨 内点表示它周围的点都在集合内 ' ' 由定义可知 E E E E E E E =  =  =   { } 的孤立点全体

外点、接触点、内点的关系 C、o C P为E的内点:园6>0使得OncE P为E的外点:B6>使得O∩E=①即OE P为E的接触点:δ>0有O△∩E≠①

外点、接触点、内点的关系 c c c c (E) (E ) (E ) (E )   = =   O( p , )  E   0 0, P0为 E的接触点：  有    O( p , )  E 0 0, P0为 E的内点：  使得  c   O( p , ) E =  O( p , )  E 0 0 0, , P  使得  即  0为 E的外点：

例设p是E的聚点,证明p的任意邻域内至少含有无穷多 属于E而异于p0的点 证明:由条件知v6>0,On6)(E-{P})≠①(*) 假如On∩(E-{Po})为有限集 不妨令On∩(E-{P0})={1,P2,…,pn} 取δ=m((p,P)i=1,2,…,n 则O1n0(E-{P)= 这与(*)矛盾, Pδ 所以On(E一1为无限集

例 设p0是E的聚点, 证明p0的任意邻域内至少含有无穷多 属于E而异于p0的点. 假如O( p0 , ) (E −{p0 })为有限集， ( { } ) { , , , } 不妨令O( p0 , )  E − p0 = p1 p2  pn min{ ( , )| 1,2, , } 取 = d pi p0 i =  n ( , ) ( −{ 0 }) =  0 则O p  E p ( { }) O( p0 , )  E − p0 这与（*）矛盾， 所以 为无限集。 0 ( , ) 0 0, ( { }) O E p p  证明：由条件知    −    （*） P0 δ Pn

例E中的孤立点集或为有限集或为可数集。 证明:设A为孤立点集,Yx∈A,由孤立点 的定义知三6>0.使得O1A∩E={x}() 下证次 r,yEA,x≠y必有O1,O5= 否则若彐∈013个O5 则(xy)≤d(x,)+d(=,y)<O+16≤mx{b28 这与(*)式矛盾, 所以O)x∈A是一簇两两不交的开区间, 从而A至多可数

例 E中的孤立点集或为有限集或为可数集。    ( , )  ( , ) =  2 1 2 , , , 1 x y O x O y x y A x y 下证 必有   ( , ) ( , ) 2 1 2 , 1 x y O x O y z     否则 若 ( , ) ( , ) ( ,, ) max{ , } 2 1 2 1 x y x y 则d x y  d x z + d z y   +     1 2 ( , ) { | } x O x A x   这与（*）式矛盾， 所以 是一簇两两不交的开区间， 从而A至多可数。 xA 0, { } (*) ( , ) O E x x  x  使得 x   = 证明：设A为孤立点集， ，由孤立点 的定义知

3聚点的等价描述 定义:称点列mn}收敛于m,记为:mP=P 若imd(pn,p)=0, n→)00 P 即∨6>0,3N>0m≥N,有p∈Om 定理:下列条件等价: )p为E的聚点(即:V6>0.有On(E-{3)≠①) (2)点P的任意邻域内,含有无穷多个属于E而异于P的点 (3)存在E中互异的点所成点列{n,使得mn=P 证明:(3)→(2)→(显然,下证(①)→(3)

⒊聚点的等价描述 证明：(3)  (2)  (1) 显然，下证 (1)  (3) 定理：下列条件等价： (1) p0为E的聚点 (3)存在E中互异的点所成点列{pn}, 使得 0 lim pn p n = → 0 ( , ) 0 ( 0, ( { }) O E p p  即：   −    有 ） P0 δ Pn ( , ) 0 0 0, 0, , lim ( , ) 0,  n p  n n N n N p O d p p        = → 即 有 若 0 lim p p n n = 定义：称点列{pn} 收敛于p0 , 记为： → (2)点p0的任意邻域内，含有无穷多个属于E而异于p0的点