哈尔滨工业大学计算机科学与技术学院：《计算机图形学》第4章 自由曲线与曲面（一）（苏小红）

第四章自由曲线与曲面 哈尔滨工业大学计算杋学院 苏小红 哈工大计算机学院苏小红

哈工大计算机学院 苏小红 1 第四章 自由曲线与曲面 （一） 哈尔滨工业大学计算机学院 苏小红

概述 曲线的分类 规则曲线 自由曲线 随机曲线 哈工大计算机学院苏小红

哈工大计算机学院 苏小红 2 概 述 曲线的分类 ◼ 规则曲线 ◼ 自由曲线 ◼ 随机曲线

概述 研究分支 a计算几何 1969 Minsky, Papert提出 1972 A.R. Forrest给出正式定义 CAGD (Computer Aided Geometrical Design 1974 Barnhill, Riesenfeld,美国Utah大学的一次国 际会议上提出 哈工大计算机学院苏小红

哈工大计算机学院 苏小红 3 概 述 研究分支 ◼ 计算几何 1969 Minsky, Papert提出 1972 A.R.Forrest给出正式定义 ◼ CAGD (Computer Aided Geometrical Design) 1974 Barnhill, Riesenfeld, 美国Utah大学的一次国 际会议上提出

概述 研究内容 对几何外形信息的计算机表示 对几何外形信息的分析与综合 对几何外形信息的控制与显示 哈工大计算机学院苏小红

哈工大计算机学院 苏小红 4 概 述 研究内容 ◼ 对几何外形信息的计算机表示 ◼ 对几何外形信息的分析与综合 ◼ 对几何外形信息的控制与显示

概述 对形状数学描述的要求? 从计算机对形状处理的角度来看 (1)唯一性 (2)几何不变性 对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合, 用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。 哈工大计算机学院苏小红

哈工大计算机学院 苏小红 5 概 述 对形状数学描述的要求？ 从计算机对形状处理的角度来看 （1）唯一性 （2）几何不变性 对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合， 用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变

概述 (3)易于定界 (4)统一性: 统一的数学表示,便于建立统一的数据库 标量函数:平面曲线y=f(x) 空间曲线y=f(x) z=9(× 矢量函数:平面曲线P()=[x()y(t) 空间曲线P(t)=[x()y(t)z(t) y=y()t∈[a,b] =(1) 哈工大计算机学院苏小红

哈工大计算机学院 苏小红 6 概 述 （3）易于定界 （4）统一性： 统一的数学表示，便于建立统一的数据库 标量函数：平面曲线 y = f(x) 空间曲线 y = f(x) z = g(x) 矢量函数：平面曲线 P(t) = [x(t) y(t)] 空间曲线 P(t) = [x(t) y(t) z(t)]       = = = [ , ] ( ) ( ) ( ) t a b z z t y y t x x t

概述 从形状表示与设计的角度来看 (1)丰富的表达能力:表达两类曲线曲面一 (2)易于实现光滑连接 (3)形状易于预测、控制和修改 (4)几何意义直观,设计不必考虑其数学表达 哈工大计算机学院苏小红

哈工大计算机学院 苏小红 7 概 述 从形状表示与设计的角度来看 （1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面 （2）易于实现光滑连接 （3）形状易于预测、控制和修改 （4）几何意义直观，设计不必考虑其数学表达

自由曲线曲面的发展过程 目标:美观,且物理性能最佳 1963年,美国波音飞机公司, Ferguson双三次曲 面片 1964~1967年,美国MT, Coons双三次曲面片 1971年,法国雷诺汽车公司, Bezier曲线曲面 1974年,美国通用汽车公司, Cordon和 Riesenfeld, Forrest,B样条曲线曲面 1975年,美国 Syracuse大学, Verse川e有理B样条 80年代,Peg和Ter, NURBS方法 哈工大计算机学院苏小红

哈工大计算机学院 苏小红 8 自由曲线曲面的发展过程 目标：美观，且物理性能最佳 1963年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲 面片 1964~1967年，美国MIT，Coons双三次曲面片 1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面 1974年，美国通用汽车公司，Cordon和 Riesenfeld, Forrest, B样条曲线曲面 1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条 80年代，Piegl和Tiller, NURBS方法

参数曲线基础(1/6) 曲线的表示形式 非参数表示 显式表示y=f(x) =g(x) ·隐式表示 f(x,y,z)=0 g(x,y,2z)=0 哈工大计算机学院苏小红

哈工大计算机学院 苏小红 9 参数曲线基础（1/6） 曲线的表示形式 ◼ 非参数表示 显式表示 隐式表示    = = ( ) ( ) z g x y f x    = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 g x y z f x y z

参数曲线基础(2/6) 参数表示 X=X ly=yo tela, 61 =2() 参数的含义 ■时间,距离,角度,比例等等 规范参数区间[0,1 哈工大计算机学院苏小红 10

哈工大计算机学院 苏小红 10 参数曲线基础（2/6） ◼ 参数表示 参数的含义 ◼ 时间，距离，角度，比例等等 ◼ 规范参数区间[0，1]       = = = [ , ] ( ) ( ) ( ) t a b z z t y y t x x t