哈尔滨工业大学计算机科学与技术学院：《计算机图形学》第4章 自由曲线与曲面（二）（苏小红）

第四章自由曲线与曲面 哈尔滨工业大学讣算杋学院 苏小红

Bezier曲线 1962年,法国雷诺汽车公司 P.e.Bezier工程师 以“逼近”为基础 OUNISURF系统 1972年雷诺汽车公司正式使用

Bezier曲线(1/19) Beze基函数- Bernstein多项式的定义 BEZn(t)=Cnt(1-t)”,t∈[0, 三次 Bezier曲线的四个混合函数 (n-) BEZi3(u) BEZ(u)

( ) (1 ) , [0,1] ,     BEZ t C t t t i i n i i n n !( )! ! i n i n C i n   0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1BEZ (u) 0.2 0.4 0.6 0.8 1 BEZ (u) BEZ (u) u u 1 0.8 0.6 0.4 0.2BEZ (u) 0.8 0.2 0.4 0.2 0.4 0.6 0.6 0.8 1 1 u 0.2 0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.8 0.6 u 1 0.2 三次Bézier曲线的四个混合函数

Bezier曲线(219 Bernstein基函数的性质 正性BEz,(x)≥0,t∈[0,1l 权性 BEZ )=1 ∈[0,1 对称性BEzn(O)=BEZn(1- 降阶公式BEZ10(1)=(1-1)BEZ121(1)+BEZ1m 升阶公式BEZn() +1 n+1 BEZ BEZin(t) n n+1 n+

( ) (1 ) , , BEZ t BEZ t i n  ni n  ( ) 0 , [ 0 ,1] BEZ i ,n t  t  ( ) 1 , [ 0 ,1 ] 0  ,    BEZ t t n i i n ( ) (1 ) ( ) ( ) , , 1 1, 1 BEZ t t BEZ t tBEZ t i n   i n  i n ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) , 1, 1 , 1 BEZ t n n i BEZ t n i i BEZ t i n i  n  i n        

Bezier曲线(3/19) a导数BEZ()=n(BEZ1n1(1)=BEZn1() 积分「BE2() n+1 最大值 在t=处取得最大值 线性无关性 BEZn(b2是n次多项式空间的一组基 5

1 1 ( ) 1 0 ,    n BEZ t i n   n n i i BEZ t , 0 ( )  ( ) ( ( ) ( )) , 1, 1 , 1 BEZ t n BEZ t tBEZ t i n  i n  i n

Bezier曲线(419) Bezier曲线的定义 an次多项式曲线P()称为n次 Bezier曲线 P()=∑P.BEZn()-t∈[0 控制顶点 控制多边形

( ) ( ) [0,1] 0    ,   P t P BEZ t t n i i i n P0 P1 P2 P3

Bezier曲线(5/19) Bezier曲线的性质 端点位置 P(t)Iso= p P(t)la=p

0 0 P(t) |t  P t Pn P(t) | 1 P0 P1 P2 P3

Bezier曲线(6/19) 端点切矢量 P(D)l=0=- P(ta=P-P- 导数曲线 P()=n∑(P1=P)BEZn1()t∈[01

0 1 0 P(t) | t  P  P 1 1 ( ) |      t Pn Pn P t ( ) ( ) ( ) [0,1] 1 0    1   , 1      P t n P P BEZ t t n i i i i n P0 P1 P2 P3

Bezier曲线(7/19) 对称性 不是形状对称 保持贝塞尔曲线全部控制点P的坐标位置不变,只 是将控制点P的排序颠倒,曲线形状保持不变

Bezier曲线(8/19) 凸包性 点集的凸包 包含这些点的最小凸集 Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内 P 10

2 p 3 p 0 p 1 p