《突变函数》课程教学资源（讲义）第三章 测度论习题讲解

实变函数 第三章测度论 习题讲解

习题讲解 第三章 测度论

设E是直线上的一有界集mE>0,则对任意小 于mE的正数c,恒有子集E1,使mE1=d 证明:由于E有界,故不妨令E∈b 令(x)=m*(E∩[a,x]),则fa)=0,(b)=m*E 下证fx)在[ab]上连续

1 设E是直线上的一有界集， ，则对任意小 于 的正数c，恒有子集E1，使  0  m E m E  m E = c  1 证明：由于E有界，故不妨令 E a b  [ , ] 令f(x)=m*(E∩[a,x])，则f(a)=0,f(b)=m*E, 下证f(x)在[a,b]上连续 [ a x1 x2 b ]

f(x)=m(E∩[a,x) 任取x12x2∈[ab],xx2,则 f(2)-f(x)=m(En[a,x2) -m(En[a, x) Km(E⌒[a,x)+m(E∩[x2x2])-m(E∩a,x) m(E∩[x1,x2])≤m(x2x2])=x2-x1 从而邱x)在[a,b]上(一致)连续 由界值定理知,存在ξ∈ab],使2)c 令E=E∩a,图],则E满足要求

1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 ( [ , ]) ([ , ]) ( [ , ]) ( [ , ]) ( [ , ]) ( ) ( ) ( [ , ]) ( [ , ]) m E x x m x x x x m E a x m E x x m E a x f x f x m E a x m E a x =   = −   +  −  − =  −         从而f(x)在[a,b]上（一致）连续； 由界值定理知，存在ξ ∈[a,b] ,使f(ξ)=c, 令E1=E ∩[a, ξ]，则E1满足要求. 任取x1 ,x2 ∈ [a,b], x1<x2，则 [ a x1 x2 b ] f(x)=m*(E∩[a,x])

2设A,B是R的子集,A可测,证明等式 m(AU B)+m(An B)=m(a)+m(B) 证明 由于A可测, 故vTcR,有m=m(T∩A)+m(∩4) 取T=AB,有m(A∪B)=m()+m(B∩A) 取7=B,有m(B)=m(B∩A)+m(B∩Af) 注意不要说直接两式相减, 两式一结合即得 因为m*B可能为无穷 m(AUB)+m(An B)=m(A)+m(B)

2 设A，B是Rn的子集，A可测，证明等式 m (A B) m (A B) m (A) m (B)      +  = + m (A B) m (A B) m (A) m (B)      +  = + 两式一结合即得 ( ) ( ) ( ) ( ) c c T A B m A B m A m B A T B m B m B A m B A       =   = +  = =  +  取 ，有 （ ） 取 ，有 （ ） ( ) ( ) n c A T R m T m T A m T A      =  +  由于 可测， 故 ，有 证明： 注意:不要说直接两式相减, 因为m*B可能为无穷

3设A,B是R的子集,证明不等式 m(A∪B)+m(A∩B)≤m(4)+m(B) 证明:作G型集O,使AcO且mO=m4 由于O可测,故 m*(A∪B) m(A∪B)∩O)+m(A∪B)∩O) m(A∪B)O)+m(B∩O) 注意不要说直接 m(B)=m(BO)+m(B∩O) 两式相减因为 两式一结合即得 m+B可能为无穷 m(A∪B)+m(A∩B)≤m(AUB)+m'(B∩O) m(A∪B)∩O)+m(B∩O)+m(BaO) m((AUB)nO)+mB<mO+mB=m'A+mB

3 设A，B是Rn的子集，证明不等式 m (A B) m (A B) m (A) m (B)      +   + 两式一结合即得 （ ） ( ) ( ) c m B = m B O + m B O    m A B O m B m O m B m A m B m A B O m B O m B O m A B m A B m A B m B O c              =   +  + = + =   +  +   +    +  (( ) ) (( ) ) ( ) ( ) （ ） ( ) （ ） ( ) (( ) ) ( ) (( ) ) (( ) ) c c m A B O m B O m A B O m A B O m A B O =   +  =   +        （ ） 由于 可测，故 G O A O m O m A  证明： 作  型集 ，使  且 = 注意:不要说直接 两式相减,因为 m*B可能为无穷

设EcR,存在可测集列{An},{Bn},使得 ACECB 且m(Bn-4)→0m∞),试证明E可测 证明:令O=∩B,则EcO,O为可测集, n=1 且m(O-E)≤m(Bn-E)→>0n→> 从而m(O-E)=0 说明:也可通过 故O-E为可测集, 令H=A n=1 E 进一步区=O=(O=E为可测集。来明 H∪(E-H)

* * ( ) ( ) 0( ) 且m O E m B E n −  − → →  n 证明：令O Bn ，则E O，O为可测集， n =    =1 故O − E为可测集， * 从而m O E ( ) 0 − = 说明：也可通过 来证明 1 n n H A  = 令 =  E = H (E − H) n E  R An  E  Bn m(Bn − An ) → 0(n → ) 设 ，存在可测集列{An},{Bn}，使得 且 ，试证明E可测. 进一步 E = O − (O − E) 为可测集。 4

5直线上可测集全体A的势为2 证明:令 Canto集为P,由于 Cantor的测度为0, 从而它的子集都可测,故P 2C4C2 又P,R的势都为 从而2N=25A≤2k=2N 再由 bernstein定理知团=2N

5 直线上可测集全体A的势为  2  再由 A = 2 Bernstein定理知 2 2 2 2 P R A   从而 =   = 又P，R的势都为  2 2 P R  A 证明：令Cantor集为P， 由于Cantor的测度为0， 从而它的子集都可测，故