《突变函数》课程教学资源（讲义）第三章 测度论（3.2）可测集

实变函数 第三章测度论 第二节可测集

第二节 可测集 第三章 测度论

Lebesgue外测度(外包) mE=inf(∑|1|:Ec∪1且l为开区间} E>0,开区间列{1},使得Ec∪1且mE≤>|1|≤mE+E i=1 即:用一开区间列“近似”替换集合E 次可数可加性(即使An两两不交) m(,An)≤∑mAn n=1

Lebesgue外测度(外包) n n n n m A m A * 1 1 * ( )   =  =   次可数可加性(即使Ａn两两不交) inf{ | |: } 1 1 i i 且 i 为开区间 i i m E I E I I  =  =  =    即：用一开区间列“近似”替换集合E        +   =  = I E I m E I m E i i i i i * 1 * 1 0, 开区间列{ },使得 且 | |

1可测集的定义 若vTcR",有mT=m(T∩E)+m(T∩E ( Caratheodory条件),则称E为 Lebesgue可测集, 此时E的外测度称为E的测度,记作mE E T∩E|T∩E 注: Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集 但此方法对处理问题很不方便,故我们采用上述方法

1.可测集的定义 注：Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集， 但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法。 E E c T∩E T∩Ec , n 若T  R ( ) ( ) * c m T = m T E + m T E 有   mE （Caratheodory条件） ，则称E为Lebesgue可测集， 此时E的外测度称为E的测度，记作

例:零集E必为可测集 证明:vTcR 有mT≤m(TE)+m(T⌒E ≤m(E)+m()≤m(T 从而mT=m(TE)+m:(T∩E 即E为可测集。 下TcR,有m7=m(T⌒E)+m(T∩E)

例：零集E必为可测集 * * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c m T m T E m T E m E m T m T      +   +  有 n 证明：T  R * ( ) ( )c m T m T E m T E   从而 =  +  即E为可测集。 , ( ) ( ) n * c T  R m T = m T E + m T E 有  

2 Lebesgue可测集的性质 a)集合E可测(即TcR",有mT=m(⌒E)+m(T∩E) ∨AcE,BCE,有m(A∪B)=m'(4)+m(B) 证明:(充分性)TcRn 令A=T∩E,B=T⌒E即可 (必要性)令T=A∪B

2.Lebesgue可测集的性质 证明：(充分性） n T  R 令A = T  E,B = T  E c 即可 (必要性)令 T = A B  A  E,B  E c ,有 ( ) ( ) ( ) * m A B = m A + m B   , ( ) ( ) n * c T  R m T = m T E + m T E （ 有   a）集合E可测（即 ）

(b)若ABA可测,则下述集合也可测 A,AUB,A∩B,A-B,∩A1,A 即可测集类关于差,余,有限交和可数交, 有限并和可数并,以及极限运算封闭; 若A∩B=①,则∨T<R 有m(T∩(AB)=m(∩A)+m(T∩B) 注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得

即可测集类关于差，余，有限交和可数交， 有限并和可数并，以及极限运算封闭； 1 1 , , , , , c i i i i A A B A B A B A A   = =   −   （b）若A,B,Ai 可测，则下述集合也可测 n 若A B T R  =    ，则 * m T A B m T A m T B ( ( )) ( ) ( )   有   =  +  注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得

可测集类关于差,余,有限交和可数交, 有限并和可数并,以及极限运算封闭 若A两两不交,则(测度的可可加性) m(1A1)=>m1 z=1 若AB可测,A∈B,mA<+∞ 则有可减性m(B-4)=mB-mA

若 Ai两两不交，则（测度的可数可加性）   =  =  = 1 1 ( ) i i i i m A m A 若 A,B可测， 则有可减性 A  B,mA +, m(B − A) = mB− mA 可测集类关于差，余，有限交和可数交， 有限并和可数并，以及极限运算封闭；

证明:由可测集的定义:VTcR 有mT=m(nE)+m(TE 易知A可测 若A∪B可测已证明,则易知 若当A为两两不交时, A∩B=(A∪B) ∪A可测已证明,则通 A-B=A0B 过令Bn=An-∪A可 也可测。 把一般情形转化为两 两不交情形;通过取 余即可证明⌒A可测

也可测。 若 A B 可测已证明，则易知 c c c A B = (A  B ) c A− B = AB n T  R ( ) ( ) * c m T = m T E + m T E 有   易知Ac可测 证明：由可测集的定义： 余即可证明 可测 两不交情形 通过取 把一般情形转化为两 过令 可 可测已证明 则通 若当 为两两不交时 i n i i n i n n i i i A B A A A A 1 1 1 1 ; , , = − =  =  = −  

B 下面证明若A,B可测, A 则A∪B可测 (3) 证明:VTcR 有mT≤m(T∩(AUB)+m(T(AUB)) ≤(m(1)+m(2)+(m(3)+m(4) m()y(2)+m(3)(4)(B可测 m(1)∪(2)∪(3)(4))(4可测) 从而mT=m(T(A∪B)+m(T(AB))

* * * *** ( ( )) ( ( ) ) ( (1) (2)) ( (3) (4)) ((1) (2)) ((3) (4)) ( ) ((1) (2) (3) (4)) ( ) ( ) c m T m T A B m T A B m m m m m m B m A m T         +    + + + =  +  =    = 有 可 测 可 测 * ( ( )) ( ( ) )c m T m T A B m T A B   从 而 =   +   n 证明：  T  R (1) (2) (3) (4) Ｔ B A A B  下面证明若A,B 可测， 则 可测

下面证明若A,两两不交,则团m(A)=∑m4 证明:VTcR,有 m7=m((A)+m(7(4)从而∪A可测 i=1 2m((a4)+m((4)并用7=4代 ∑m(4)+m(7⌒(g4)入(*)式, 从而m7≥∑m(4)+m(m(4)(得结 论 ≥m(T(A1))+m(T∩(A)°) 另外显然有mT≤m(T(A)+m(T(A) 从而mT=m(7(A)+m(7aA1)°

( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ( ) ) 1 * 1 1 * 1 1 * 1 c i i n i i c i i i n i c i n i i n i m T A m T A m T A m T A m T m T A m T A  = =   = =  = =   =  +      +   =   +    ( ( )) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) (*) 1 * 1 1 * 1 c i i i i c i i i i m T A m T A m T m T A m T A  =  =   =   =     +   从而    +   ( ( )) ( ( ) ) 1 * 1 c i i i i m T m T A m T A  =  =   另外显然有    +   证明：T  R n ，有( ( )) ( ( ) ) 1 * 1 c i i i i m T m T A m T A  =  = 从而  =    +   即得结论 入（ ）式， 并用 代 从而 可测 * , 1 1 i i i i T A A  =  = =     =  =  = 1 1 ( ) i i i i 下面证明若A m A mA i 两两不交，则