《突变函数》课程教学资源（讲义）第五章 积分论（5.2）Lesbesgue积分的极限定理

实变函数 第五章积分论 第二节 Lesbesgue积分的极限定理

第二节 Lesbesgue积分的极限定理 第五章 积分论

1.Leⅵi逐项积分定理 若f(x)为E上非负可测函数列, f1(x)≤2(x)≤f3(x)≤…≤fn(x)≤…,且 lim f(x)=f(x) n→)00 则lmnf(x)x=mnf(x) n→>∞JE E n→)00 X 说明:小于等于显然成立, f(x) 因为f(x)总在fx)的下方, 只要证明大于等于,但一般而 言f(x)不会跑到fx)上方,所以 我们有必要先把fx)下移一点。 注意:当f(x)致收敛fx)时, f(x)才会整体跑到x)上方

1.Levi逐项积分定理   → → = E n E n n n 则lim f (x)dx lim f (x)dx 只要证明大于等于，但一般而 言fn (x)不会跑到f(x)上方,所以 我们有必要先把f(x)下移一点。 f(x) cf(x) fn (x) 注意：当fn (x)一致收敛f(x)时， fn (x)才会整体跑到f(x)上方。 ( ) ( ) ( ) ( ) , lim ( ) ( ) 1 2 3 f x f x f x f x f x f x n n     n  = →   且 若fn (x)为E上非负可测函数列， 说明：小于等于显然成立， 因为fn (x)总在f(x)的下方

Leⅵ逐项积分定理的证明 证明:由条件知fx)为E上非负可测函数递增列, 所以m有定义,又(≤1(Mn=123 故加m!Ax)有定义,且从函数列的渐升性知道 imnf(x)x≤f(x)x= m f(x)dx n-∞JE E E n→>00 下证大于等于号 引理1:设E是递增集列,E=∪Enx是R上的非负可测简单 函数,则 lim Lo(x)dx=Lp(x)dx n)00JE 引理2:设x)是E上的非负可测函数,A是E中可测子集,则 f(x)dx=Lf(x)xA(x)ax E

Levi逐项积分定理的证明   = n→ E E x dx x dx n lim ( ) ( ) 引理1：设{En}是递增集列， 是Rn上的非负可测简单 函数，则 , ( ) 1 E E x n n   = =  f x dx f x dx f x dx n E E n n n E lim ( ) ( ) lim ( ) → →     = 引理2：设f(x)是E上的非负可测函数，A是E中可测子集，则   = E A A f (x)dx f (x) (x)dx 证明：由条件知fn (x)为E上非负可测函数递增列，  f (x)dx   f +1 (x)dx,n =1,2,3, E n E 有定义，又 n f x dx n E n lim ( )  → 所以  → E n n 故lim f (x)dx 有定义，且从函数列的渐升性知道 下证大于等于号

Leⅵ逐项积分定理的证明 ∫(=甲3为E上的简单函数050)/0 证明:令c满足0<c<1,(x)是R上的非负可测 简单函数,且(x)≤∫(x) 记En={x∈E|fn(x)≥c四(x)} X 则{En}是递增集列, cop(X 且imE.=∪E.=E h=-1h 由引理1知 lim cL o(x)dx=cL o(x)dx n→)

Levi逐项积分定理的证明 E {x E | f (x) c (x)} 记 n =  n   ( ) sup{ ( ) : ( ) 0 ( ) ( )} E E f x dx x dx x E x f x =        为 上的简单函数， (x)  f (x) 证明：令c满足0<c<1， (x) 是Rn上的非负可测 简单函数，且 E En E n n n =  =  → =1 且lim 则{En}是递增集列，   = n→ E E c x dx c x dx n lim ( ) ( ) 由引理1知 cφ(x) f(x) fn (x) φ(x)

Leⅵ逐项积分定理的证明 En={x∈El!(x)≥c0(x) 于是从(应用引理2) X f(x)dx2 f(x)xe,(xdx E E f( fn(x)dx elco(x)dx=cL p(r)idx E E cop(X 得到血n/(x)2c!9(x 令c→则有m[(xk≥[(xh n→>odE 再由的积分定义知mJf(x≥f(x 所以 im.fn(xx f(x)a n->o0 JE E

Levi逐项积分定理的证明    → E E n n 得到lim f (x)dx c (x)dx c f x dx x dx E E n n   →  → 令 1,则有lim ( ) ( ) f x dx f x dx E E n n   = → 所以lim ( ) ( ) E {x E | f (x) c (x)} n =  n   f x dx f x dx E n n E lim ( ) ( )    再由的积分定义知 → ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )      =  =  n n n n E E E n E n E E n f x dx c x dx c x dx f x dx f x x dx    于是从（应用引理2） f(x) φ(x) cφ(x) fn (x)

对Leⅵ逐项积分定理的说明 若f(x)为E上非负可测函数列, f(x)≤f(x)≤f(x)≤…≤f(x)≤…且mf(x)=f(x) n→00 则mnf(x)hx=imnf(x)hx n→∞JE En X 积分的几何意义(函数非负) 1 (L)l f(rdx=mG(E; f E EA)为递增集列 m(lim G(E: )=lim mG(E; n 单调增集列测度的性质

对Levi逐项积分定理的说明 f(x) fn (x) fn+1(x) (L) f (x)dx mG(E; f ) E =  积分的几何意义（函数非负）： ( ) ( ) ( ) ( ) , lim ( ) ( ) 1 2 3 f x f x f x f x f x f x n n     n  = →   且   → → = E n E n n n 则lim f (x)dx lim f (x)dx 若fn (x)为E上非负可测函数列， (lim ( ; ) lim ( ; ) n n n n m G E f mG E f → → = G(E; f n )为递增集列 单调增集列测度的性质

2 Lebesgue逐项积分定理(级数形式) 若f(x)为E上非负可测函数列,则 「∑fx)=∑(x2k 对比:积分的线性 n=1 (有限个函数作和) 证明:令g,(x)=∑∫(x) 然后利用Lev逐项 则n(x)为非负可测函数递增列,且 积分定理即可 ∑f(x)= lim gn((x) n 对应于测度的可数可加性m(A nn i=1

2.Lebesgue逐项积分定理（级数形式） 然后利用Levi逐项 积分定理即可 ( ) ( ) { ( )} ( ) ( ) lim 1 1 f x g x g x g x f x n n n n n n i n i →  = = = =   则 为非负可测函数递增列，且 证明：令   =  =  = 1 1 ( ) i i i i 对应于测度的可数可加性 m A mA     =  = = 1 1 ( ) ( ) n n E n E n f x dx f x dx 若fn (x)为E上非负可测函数列， 则 对比:积分的线性 (有限个函数作和)

列试求∑(R)ax 解:令()=a G2x∈ 则(x)为非负连续函数,当然为非负可测函数, 从而∑(R)儿ax x x x n= 1(1+x J(21=2 定理:若(x)在[ab]上 Riemann可积,则f(x)在 ab上 Lebesgue可积,且L (L)L, f(x)dx=(r)l f(x)dx

例 试求 dx x x R n   n  =1 − + 1 1 2 2 (1 ) ( ) : ( ) , [ 1,1] (1 ) 2 2 =  − + f x n x x x 解 令 n dx x x R n   n  =1 − + 1 1 2 2 (1 ) 从而 ( ) dx x x L n   n  = − + = 1 [ 1,1] 2 2 (1 ) ( ) −   = + = [ 1,1] 1 2 2 (1 ) ( ) dx x x L n n ( ) 1 2 [ 1,1] = = − L dx f (x) 则 n 为非负连续函数，当然为非负可测函数， 定理：若f(x)在[a,b]上Riemann可积，则f(x)在 [a,b]上Lebesgue可积，且   = b a b a (L) f (x)dx (R) f (x)dx [ , ]

试从 1+x=(1-x)+(x2-x)+…+en2_,2m )+…,0<x<1 例 证明h2=11 n+1 十,。,十 23 解:令fn(x)=x2n2-x2n1,x∈(0,1),n=1,2,3,… 则(x)为非负连续函数,当然为可测函数 从而由 Lebesgue逐项积分定理知: (0.1)1+x dk=(L)∑f(xtx=2D n=1 (0,1) f(xk=∑(R)Jf(x n=」 ∑(R(x2-xk=(2n=1-2n ×C ..十 34 另外(L dx=(r =h2从而结论成立 0)1+x 01+x

例 (1 ) ( ) ( ) ,0 1 1 1 2 3 2 2 2 1 = − + − + + − +   + − − x x x x x x x 试从  n n  = − + − ++ − + + n n 1 ( 1) 4 1 3 1 2 1 证明ln 2 1 解：令f n (x) = x 2n−2 − x 2n−1 , x(0,1), n =1,2,3,  dx L f x dx L f x dx R f x dx x L n n n n n    n      =  =  = = = = + 1 1 0 1 (0,1) (0,1) 1 (0,1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) R x x dx n n n ( ) ( ) 1 1 0 2 2 2 1    = − − = −   = − − = 1 ) 2 1 2 1 1 ( n n n 1 (0,1) 0 1 1 ( ) ( ) ln 2 1 1 L dx R dx x x = = + + 另外    + − = − + − + + + n n 1 ( 1) 4 1 3 1 2 1 1 从而结论成立 f (x) 则 n 为非负连续函数，当然为可测函数， 从而由Lebesgue逐项积分定理知：

3积分的可数可加性 Lebesgue逐项积分定理是关于被积函数 积分的可数可加性是关于积分区域 若f(x)E二出EEn可测且两两不交) 上非负可测或可积,则f(x)=∑「/(x n=17 证明:由f(x)tx=f(x)x(x)dt 然后利用 Lebesque 及f(x)=∑f(x)x(x) 逐项积分定理即可 n= 对应于测度的可数可加性m(4)=∑m4 i=1

3.积分的可数可加性 然后利用Lebesgue ( ) ( ) ( ) 逐项积分定理即可 ( ) ( ) ( ) 1 f x f x x f x dx f x x dx n n n E n E E E    = =  =   及 证明：由 ，   =  =  = 1 1 ( ) i i i i 对应于测度的可数可加性 m A mA Lebesgue逐项积分定理是关于被积函数 积分的可数可加性是关于积分区域    =   = = 1 ( ) ( ) 1 n En En n f x dx f x dx n n E E  = =  若f(x)在 1 （En可测且两两不交） 上非负可测或可积，则