复旦大学：《高等代数》精品课程教学资源（课件讲稿）04 矩阵（第二章）

二阶行列式 设有两个二元一次方程组成的方程组(设a1,121两个数不全为零) a11x1+a12x2=b1

pê E￾ŒÆ£Á‘¤ 1ª 1ª 1ª kü‡g§|¤§|£ a11, a21 ü‡ê؏"¤µ { a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 §

二阶行列式 设有两个二元一次方程组成的方程组(设a1,121两个数不全为零) b2 按照《九章算术》上提供的求解方法:第二个方程乘a11,得到 a21x1+a112x2=a11b2

pê E￾ŒÆ£Á‘¤ 1ª 1ª 1ª kü‡g§|¤§|£ a11, a21 ü‡ê؏"¤µ { a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 § Uì5Êَâ6þJø¦){µ1‡§¦ a11§ a11a21x1 + a11a22x2 = a11b2§

二阶行列式 设有两个二元一次方程组成的方程组(设a1,121两个数不全为零) b2 按照《九章算术》上提供的求解方法:第二个方程乘a11,得到 a11a21x1+a122:=a1b2 再减去第一个方程的a21倍,则得到 a121x1+a1a22x2-a21(a1x1+a12x2)=(a112-a1a21)x2=a11b2-a2b1

pê E￾ŒÆ£Á‘¤ 1ª 1ª 1ª kü‡g§|¤§|£ a11, a21 ü‡ê؏"¤µ { a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 § Uì5Êَâ6þJø¦){µ1‡§¦ a11§ a11a21x1 + a11a22x2 = a11b2§ 2~1‡§ a21 §K a11a21x1 +a11a22x2 −a21 (a11x1 + a12x2) = (a11a22 − a12a21) x2 = a11b2 −a21b1§

二阶行列式 设有两个二元一次方程组成的方程组(设a1,121两个数不全为零) b2 按照《九章算术》上提供的求解方法:第二个方程乘a11,得到 a11a21x1+a122:=a1b2 再减去第一个方程的a21倍,则得到 a121x1+a1a22x2-a21(a1x1+a12x2)=(a112-a1a21)x2=a11b2-a2b1 所以 当a122-a12a21≠0时 a11a22-a12a21

pê E￾ŒÆ£Á‘¤ 1ª 1ª 1ª kü‡g§|¤§|£ a11, a21 ü‡ê؏"¤µ { a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 § Uì5Êَâ6þJø¦){µ1‡§¦ a11§ a11a21x1 + a11a22x2 = a11b2§ 2~1‡§ a21 §K a11a21x1 +a11a22x2 −a21 (a11x1 + a12x2) = (a11a22 − a12a21) x2 = a11b2 −a21b1§ ¤± ½n  a11a22 − a12a21 ∕= 0 ž§ ⎧ ⎨ ⎩ x2 = a11b2 − a21b1 a11a22 − a12a21 x1 = b1a22 − b2a12 a11a22 − a12a21 "

二阶行列式 前一页得到的方程为 (a1a22-a12a21)x2=a1b2-a21b1 9当a102-a12a21=0时

pê E￾ŒÆ£Á‘¤ 1ª 1ª 1ª c§µ (a11a22 − a12a21) x2 = a11b2 − a21b1  a11a22 − a12a21 = 0 ž§

二阶行列式 前一页得到的方程为 (a1a22-a12a21)x2=a1b2-a21b1 9当a102-a12a21=0时, 若a1b2-a21b1≠0则方程组无解

pê E￾ŒÆ£Á‘¤ 1ª 1ª 1ª c§µ (a11a22 − a12a21) x2 = a11b2 − a21b1  a11a22 − a12a21 = 0 ž§ e a11b2 − a21b1 ∕= 0 K§|Ã)¶

二阶行列式 前一页得到的方程为 (a1a22-a12a21)x2=a1b2-a21b1 9当a1422-a12a21=0时, 若a1b2-a21b1≠0则方程组无解; →若a1b2-a21b1=0时,第二个方程是第一个方程的倍式,所以方 程组有无穷组解!

pê E￾ŒÆ£Á‘¤ 1ª 1ª 1ª c§µ (a11a22 − a12a21) x2 = a11b2 − a21b1  a11a22 − a12a21 = 0 ž§ e a11b2 − a21b1 ∕= 0 K§|Ã)¶ e a11b2 − a21b1 = 0 ž§1‡§´1‡§ª§¤± §|ká|)œ"

二阶行列式 前一页得到的方程为 (a1a22-a12a21)x2=a1b2-a21b1 9当a1422-a12a21=0时, 若a1b2-a21b1≠0则方程组无解; 若a11b2-a21b1=0时,第二个方程是第一个方程的倍式,所以方 程组有无穷组解!。 ρ这说明a112-a12a21是否等于零能决定( determine)方程组是 不是有唯一解!是一个起决定意义的数,称为方程组系数列 的2阶行列式(英文 determinant,记为 det ( a11a12 =a1a22-a12a21 n2122 21a22

pê E￾ŒÆ£Á‘¤ 1ª 1ª 1ª c§µ (a11a22 − a12a21) x2 = a11b2 − a21b1  a11a22 − a12a21 = 0 ž§ e a11b2 − a21b1 ∕= 0 K§|Ã)¶ e a11b2 − a21b1 = 0 ž§1‡§´1‡§ª§¤± §|ká|)œ" ù`² a11a22 − a12a21 ´Äu"Uû½£ determine ¤§|´ Ø´k)œ´‡åû½¿Âꧡ§|Xê  2 1ª£=© determinant§P     a11 a12 a21 a22     = det ( a11 a12 a21 a22 ) = a11a22 − a12a21"

二阶行列式 前一页得到的方程为 (a1a22-a12a21)x2=a1b2-a21b1 9当a1422-a12a21=0时, 若a1b2-a21b1≠0则方程组无解; 若a11b2-a21b1=0时,第二个方程是第一个方程的倍式,所以方 程组有无穷组解!。 ρ这说明a112-a12a21是否等于零能决定( determine)方程组是 不是有唯一解!是一个起决定意义的数,称为方程组系数列 的2阶行列式(英文 determinant,记为 det ( a11a12 =a1a22-a12a21 n2122 21a22 a对由三个三元一次方程构成的方程组,是不是也有这样的做法 呢?《九章算术》告诉我们,也可以这样进行

pê E￾ŒÆ£Á‘¤ 1ª 1ª 1ª c§µ (a11a22 − a12a21) x2 = a11b2 − a21b1  a11a22 − a12a21 = 0 ž§ e a11b2 − a21b1 ∕= 0 K§|Ã)¶ e a11b2 − a21b1 = 0 ž§1‡§´1‡§ª§¤± §|ká|)œ" ù`² a11a22 − a12a21 ´Äu"Uû½£ determine ¤§|´ Ø´k)œ´‡åû½¿Âꧡ§|Xê  2 1ª£=© determinant§P     a11 a12 a21 a22     = det ( a11 a12 a21 a22 ) = a11a22 − a12a21" édn‡ng§¤§|§´Ø´kù‰{ Qº5Êَâ6wŠ·‚§Œ±ù?1"

三阶行列式 通过从第二个方程中减去第一个方程的适当倍数: a11x1+a12x2=b a21x1+a2x2=b2 得到1a12 a11b1 a21a22 a21b2;对三元一次方程组 a11x1+a12x2+a13x3=y a21x1+a22x2+a23x3=y2, a31x1+a32x2+a33x3=v 当实施类似的处理时,也可得到 X2 a21a22 a2123/33≈a11y n21y2 n11a12 x?+ a11y1

pê E￾ŒÆ£Á‘¤ 1ª n1ª n1ª ÏLl1‡§¥~1‡§·ê§ { a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 §      a11 a12 a21 a22     x2 =     a11 b1 a21 b2     ¶éng§| ⎧ ⎨ ⎩ a11x1 + a12x2 + a13x3 = y1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = y2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = y3 § ¢aq?nž§Œ ⎧ ⎨ ⎩     a11 a12 a21 a22     x2 +     a11 a13 a21 a23     x3 =     a11 y1 a21 y2         a11 a12 a31 a32     x2 +     a11 a13 a31 a33     x3 =     a11 y1 a31 y3