复旦大学：《高等代数》精品课程教学资源（课件讲稿）chapter five polynomials

定义1.设K是一个数域,形为 an c"+an-1r"-+. a1C+ao 的一个表达式称为K上的一个多项式,其 中an,an-1,,a1,ao∈K.当an≠0时m称为 这个多项式的次数。anx称为该多项式的首 项,an称为首项系数。x称为不定元(或变 量)。a0称为常数项。0是一个特殊的多项 式,规定其次数等于 数域K上以x为不定元的多项式全体所构成 的集合记作K[c] 多项式可以简记为f(x),g(x),a(x)等 设∫(x)∈K].则f(x)的次数记作deg(f(x) 或deg(f)

½Â1.  K ´‡ê§/ anx n + an−1x n−1 + · · · a1x + a0 ‡Lˆª¡ K þ‡õ‘ª§Ù ¥an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ K.  an 6= 0 ž n ¡ ù‡õ‘ªgê" anx n ¡Tõ‘ªÄ ‘§an ¡Ä‘Xê" x ¡Ø½£½C þ¤"a0 ¡~ê‘" 0 ´‡AÏõ‘ ª§5½Ùgêu −∞. ê K þ± x Ø½õ‘ªN¤¤ 8ÜPŠ K[x]. õ‘ªŒ±{P f(x), g(x), α(x) "  f(x) ∈ K[x]. K f(x) gêPŠ deg(f(x)) ½ deg(f).

多项式之间可以按通常的方式定义加减法和 乘法和乘方。它们满足交换律、结合律、分配 律等 设f(x),g(x)∈kr],则f(g(x)也按通常的法 则计算。 deg(fg)= deg(f)+deg(g) 设c∈K,C≠0,f(x)∈K[z],则deg(cf(x) leg deg(f±g)≤max(deg(f),deg(9) 如果f(x),g(x)∈Kx满足f(x)≠0,f(x)g(x) 0则g(x)=0 证明:deg(f)+deg(g)=deg(0)=-∞得deg(g) 如果f(x),9(x),b(x)∈K[满足f(x)≠ f(a)g(c)=f(ah(), g(c)=h(a) 证明:f(x)g(x)-h(x)

õ‘ªƒmŒ±UÏ~ª½Â\~{Ú ¦{Ú¦"§‚÷v†Æ!(ÜÆ!© Æ"  f(x), g(x) ∈ K[x], K f(g(x)) UÏ~{ KOŽ" • deg(fg) = deg(f) + deg(g). •  c ∈ K, c 6= 0, f(x) ∈ K[x], Kdeg(cf(x)) = deg(f). • deg(f ± g) ≤ max(deg(f), deg(g)). • XJ f(x), g(x) ∈ K[x] ÷v f(x) 6= 0, f(x)g(x) = 0 K g(x) = 0. y²µdeg(f)+deg(g) = deg(0) = −∞  deg(g) = −∞ ✷ • XJ f(x), g(x), h(x) ∈ K[x] ÷v f(x) 6= 0, f(x)g(x) = f(x)h(x), K g(x) = h(x). y²µf(x)[g(x) − h(x)] = 0. ✷

带余除法 定理1.设K是一个数域f(x),g(x)∈k.如 果g(x)≠0则存在唯一的一对多项式q(x),r(x 满足 1)f(x)=9(x)q(x)+7(x) 2)deg(r)< deg(g) q(x)称为商,r(x)称为余式 证明:存在性:对f(x)的次数进行归纳即 唯一性:利用次数

‘{Ø{ ½n1.  K ´‡ê,f(x), g(x) ∈ K[x]. X J g(x) 6= 0 K3éõ‘ª q(x), r(x) ÷v 1) f(x) = g(x)q(x) + r(x); 2) deg(r) < deg(g). q(x) ¡û, r(x) ¡{ª. y²µ35µé f(x) gê?18B= Œ" 5µ|^gê" ✷

例1.设f(x)=2x4-5x+1,g(x)=x2-x+2, 求g(x)除f(x)的商和余式。 求解的方法叫带余除法或长除法( long divi-

~1.  f(x) = 2x 4 − 5x + 1, g(x) = x 2 − x + 2, ¦ g(x) Ø f(x) ûÚ{ª" ¦){‘{Ø{½Ø{£long divi￾sion¤

作业: p187:1,2,6,7

Š’µ p.187: 1,2,6,7

多项式的整除性 定义2.设f(x),g(x)∈Kz如果f(x)≠0且存 在h(x)∈Kd]使g(x)=f(x)h(x),则称∫(x)整 除g(x)记作f(x)|g(x)或f|g 些基本事实 1)任何一个非零常数整除任何一个多项式 2)任何一个非零多项式整除0; 3)0不能整除任何多项式; 4)若g(x)f(x),g(x)h(x),则对任何多项式a(x,b(x) 都有g(x)a(x)f(x)+b(x)h(x) 5)若g(c)f(x)且f(x)≠0,则deg(g)≤deg(f) 6)g( )lf(r)=g(h(a))lf(h(a)) 7)两个常用公式:二项式定理和 b)(a-1+an-2b+…+b-)

õ‘ªØ5 ½Â2.  f(x), g(x) ∈ K[x]. XJ f(x) 6= 0 … 3 h(x) ∈ K[x] ¦ g(x) = f(x)h(x), K¡ f(x)  Ø g(x) PŠ f(x)|g(x) ½f|g. į¢: 1) ?ۇš"~êØ?ۇõ‘ª; 2) ?ۇš"õ‘ªØ 0; 3) 0 ØUØ?Ûõ‘ª; 4) e g(x)|f(x), g(x)|h(x), Ké?Ûõ‘ª a(x), b(x) Ñkg(x)|a(x)f(x) + b(x)h(x). 5) e g(x)|f(x) … f(x) 6= 0, K deg(g) ≤ deg(f). 6) g(x)|f(x) ⇒ g(h(x))|f(h(x)). 7) ü‡~^úªµ‘ª½nÚ a n − b n = (a − b)(a n−1 + a n−2 b + · · · + b n−1 ).

引理2.设f(x),9(x)∈K[x],g(x)≠0.则g(x)f(x) 当且仅当f(x)被g(x)除的余式等于零 证:→:存在b(x)∈K]使f(x)=g(x)b(x) 故f(x)=g(x)b(x)+0.由于deg(0)<deg(g,所 以f(x)被g(x)除的余式等于零 余式等于零意味着∫(x)=g(x)q(x,即g(x)f(x) 引理3.设f(x),g(x)都是非零多项式若f(x)9(x 且g(x)f(x),则f(x)=c·g(x),其中c是一个非 零常数 证:设f(x)=9(x)a(x),g(x)=f(x)b(x).则f(x) f(x)b(x)a(x),从而a(x)b(x)=1,所以a(x),bx)只 能是非零常数.口

Ún2.  f(x), g(x) ∈ K[x], g(x) 6= 0. K g(x)|f(x) …=f(x)  g(x) Ø{ªu". y: ⇒: 3 b(x) ∈ K[x] ¦ f(x) = g(x)b(x). f(x) = g(x)b(x) + 0. du deg(0) < deg(g), ¤ ± f(x)  g(x) Ø{ªu". ⇐: {ªu"¿›X f(x) = g(x)q(x), = g(x)|f(x). ✷ Ún3.  f(x), g(x) Ñ´š"õ‘ª.e f(x)|g(x) … g(x)|f(x), Kf(x) = c · g(x), Ù¥ c ´‡š "~ê. y:  f(x) = g(x)a(x), g(x) = f(x)b(x). K f(x) = f(x)b(x)a(x), l a(x)b(x) = 1, ¤± a(x), b(x)  U´š"~ê. ✷

多项式的最大公因式 定义3.设f(x),9(x),b(x)∈K].如果h(x)f(x),h(x)g(x) 则h(x)称为f(x)和g(x)的一个公因式设l(x 是f(x)和g(x)的一个公因式并且具有如下 性质:对f(x),9(x)的任何一个公因式h(x)都 有h(x)d(x),则d(x)称为f(x)和g(x)的最大公 因式,记作(f(x),g(x)或gcd(f(x),g(x).( greatest common divisor

õ‘ªŒúϪ ½Â3.  f(x), g(x), h(x) ∈ K[x]. XJ h(x)|f(x), h(x)|g(x), K h(x) ¡ f(x) Ú g(x) ‡úϪ.  d(x) ´ f(x) Ú g(x) ‡úϪ¿…äkXe 5Ÿ: é f(x), g(x) ?ۇúϪ h(x) Ñ k h(x)|d(x), K d(x) ¡ f(x) Úg(x) Œú Ϫ, PŠ (f(x), g(x)) ½gcd(f(x), g(x)). (greatest common divisor)

例2.)2m-1和x-都是4x2-4x+1与 的最大公因式一般把x-定为gd(4x2-4x+ 1,x3-2),因为它的首项系数等于1.首项系数 为1的多项式叫首一多项式。 例3.gcd(0,0)不存在 例4.若f(x)≠0,则gcd(f(x),0)=f(x)

~2. ) 2x−1 Ú x− 1 2 Ñ´ 4x 2 −4x + 1 † x 3 − x 2 2 ŒúϪ.„r x − 1 2 ½gcd(4x 2 − 4x + 1, x3 − x 2 2 ), Ϗ§đXêu1. đXê 1õ‘ªÄõ‘ª" ~3. gcd(0, 0) Ø3. ~4. e f(x) 6= 0, K gcd(f(x), 0) = f(x).

引理4.设d1(x),d2(x)都是f(x),g(x)的最大公 因式则d1(x)=c·d2(x),其中c是个非零常数 证:由定义得d1(x)d2(x),d2(x)d(x).口 引理5.设∫(x)=9(x)q(x)+r(x),其中g(x)≠0 如果d(x)=gcd(g(x),r(x),则d(x)=gdf(x),9(x) 证明:显然d(x)是f(x)和g(x)的一个公因 式设h(x)是f(x)和g(x)的任意一个公因式 由于r(x)=f(x)-g(x)q(x),故h(x)整除r(x).由 于d(x)=gcd(g(x),r(x),因此h(x)d(x).口

Ún4.  d1(x), d2(x) Ñ´ f(x), g(x) Œú Ϫ,K d1(x) = c · d2(x), Ù¥ c ´‡š"~ê. y: d½Â d1(x)|d2(x), d2(x)|d1(x). ✷ Ún5.  f(x) = g(x)q(x) + r(x), Ù¥ g(x) 6= 0. XJd(x) = gcd(g(x), r(x)), K d(x) = gcd(f(x), g(x)). y²: w, d(x) ´ f(x) Ú g(x) ‡úÏ ª.  h(x) ´f(x) Ú g(x) ?¿‡úϪ, du r(x) = f(x)−g(x)q(x), h(x) Ø r(x). d u d(x) = gcd(g(x), r(x)), Ïd h(x)|d(x). ✷