复旦大学：《高等代数》精品课程教学资源（课件讲稿）05 线性空间（第三章）

数域 我们使用过很多数集符号,如Z、Q、R、C、N等。其中有些数集 是关于“加、减、乘、除"封闭的,有些只关于“加、减、乘"封闭,也 有的只关于“加、乘”运算封闭。 就Q、R、C而言,它们关于“加、减、乘、除”运算都封闭,我们称 之为城,而Z是关于“加、减、乘”封闭,称为环。 复数集C的一个非空非零子集F若关于“加、减、乘、除"运算封闭 (在作除法时,除数要求不为零),则称之为一个数域 常见的数域有上面的Q、R、C。我们也可以构造一个不太常见的数 域,如Q={+b2其中b∈Q}。这也是一个数域。因 为e不是一个代数数,所以 0+a1e+……+anen Q(e bo+bre+ lanb;∈Q 0≤i≤n1≤j≤mbo,b,…,bn不全为零 也是一个数域

pê E￾ŒÆµÁ‘ ‚5m ê ê ·‚¦^Léõê8ÎÒ§X Z!Q!R!C!N "Ù¥k ê8 ´'u“\!~!¦!Ø”µ4§k 'u“\!~!¦”µ4§ k'u“\!¦”$Žµ4" Ò Q!R!C 󧧂'u“\!~!¦!Ø”$ŽÑµ4§·‚¡ ƒ§ Z ´'u“\!~!¦”µ4§¡‚" ½Â Eê8 C ‡šš"f8 F e'u“\!~!¦!Ø”$Žµ4 £3ŠØ{ž§Øꇦ؏"¤§K¡ƒ‡ê" ~„êkþ¡ Q!R!C"·‚Œ±E‡Ø~„ê §X Q h√ 2 i = n a + b √ 2 | Ù¥a, b ∈ Q o "ù´‡ê"Ï  e Ø´‡êꧤ± Q (e) =    a0 + a1e + · · · + ane n b0 + b1e + · · · + bmem | ai , bj ∈ Q, 0 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, b0, b1, . . . , bn؏"    ´‡ê"

性空闻 定义(m维行(列)向量) 设K是数域,a1,…,an是K中的n个数,则称有序数组(a1…,an)为数 域K上的n维行向量,称有序数组 为数域K上的n维列向量。 在前面一章,我们介绍过列向量的加法,数乘。当我们把列向量与有向线段 (矢量)等同起来后,我们也知道,列向量的加法就是矢量的平行四边形求 和,列向量的数乘就是矢量的放缩。关于行(列)向量的加法和数乘,我们验 证过有下列八条性质成立 an)|a∈K,1≤i≤n}

pê E￾ŒÆµÁ‘ ‚5m 1•þm†•þm ½Â (n ‘1£¤•þ)  K ´ê§a1 , . . . , an ´ K ¥ n ‡ê§K¡kSê| (a1 , . . . , an) ê  K þ n ‘1•þ§¡kSê|   a1 . . . an   ê K þ n ‘•þ" 3c¡Ù§·‚0L•þ\{§ê¦"·‚r•þ†k•‚ã £¥þ¤Óå5￾§·‚§•þ\{Ò´¥þ²1o>/¦ Ú§•þê¦Ò´¥þ "'u1£¤•þ\{Úꦧ·‚ yLkel^5Ÿ¤á" P K n = ￾a1 · · · an
| ai ∈ K§1 ≤ i ≤ n "

性空闻 定义(m维行(列)向量) 设K是数域,a1,…,an是K中的n个数,则称有序数组(a1…,an)为数 域K上的n维行向量,称有序数组 为数域K上的n维列向量。 在前面一章,我们介绍过列向量的加法,数乘。当我们把列向量与有向线段 (矢量)等同起来后,我们也知道,列向量的加法就是矢量的平行四边形求 和,列向量的数乘就是矢量的放缩。关于行(列)向量的加法和数乘,我们验 证过有下列八条性质成立 an)|a∈K,1≤i≤n} Q加法交换律:Va,β∈K,有a+B=B+a

pê E￾ŒÆµÁ‘ ‚5m 1•þm†•þm ½Â (n ‘1£¤•þ)  K ´ê§a1 , . . . , an ´ K ¥ n ‡ê§K¡kSê| (a1 , . . . , an) ê  K þ n ‘1•þ§¡kSê|   a1 . . . an   ê K þ n ‘•þ" 3c¡Ù§·‚0L•þ\{§ê¦"·‚r•þ†k•‚ã £¥þ¤Óå5￾§·‚§•þ\{Ò´¥þ²1o>/¦ Ú§•þê¦Ò´¥þ "'u1£¤•þ\{Úꦧ·‚ yLkel^5Ÿ¤á" P K n = ￾a1 · · · an
| ai ∈ K§1 ≤ i ≤ n " 1 \{†Æµ∀α, β ∈ K n§k α + β = β + α¶

性空闻 定义(m维行(列)向量) 设K是数域,a1,…,an是K中的n个数,则称有序数组(a1…,an)为数 域K上的n维行向量,称有序数组 为数域K上的n维列向量。 在前面一章,我们介绍过列向量的加法,数乘。当我们把列向量与有向线段 (矢量)等同起来后,我们也知道,列向量的加法就是矢量的平行四边形求 和,列向量的数乘就是矢量的放缩。关于行(列)向量的加法和数乘,我们验 证过有下列八条性质成立 an)|a∈K,1≤i≤n} Q加法交换律:a,B∈K,有a+β=B+a Q加法结合律:Va,B∈K,有(a+B)+T=a+(B+m);

pê E￾ŒÆµÁ‘ ‚5m 1•þm†•þm ½Â (n ‘1£¤•þ)  K ´ê§a1 , . . . , an ´ K ¥ n ‡ê§K¡kSê| (a1 , . . . , an) ê  K þ n ‘1•þ§¡kSê|   a1 . . . an   ê K þ n ‘•þ" 3c¡Ù§·‚0L•þ\{§ê¦"·‚r•þ†k•‚ã £¥þ¤Óå5￾§·‚§•þ\{Ò´¥þ²1o>/¦ Ú§•þê¦Ò´¥þ "'u1£¤•þ\{Úꦧ·‚ yLkel^5Ÿ¤á" P K n = ￾a1 · · · an
| ai ∈ K§1 ≤ i ≤ n " 1 \{†Æµ∀α, β ∈ K n§k α + β = β + α¶ 2 \{(ÜƵ∀α, β, γ ∈ K n§k (α + β) + γ = α + (β + γ)¶

性空闻 定义(m维行(列)向量) 设K是数域,a1,…,an是K中的n个数,则称有序数组(a1…,an)为数 域K上的n维行向量,称有序数组 为数域K上的n维列向量。 在前面一章,我们介绍过列向量的加法,数乘。当我们把列向量与有向线段 (矢量)等同起来后,我们也知道,列向量的加法就是矢量的平行四边形求 和,列向量的数乘就是矢量的放缩。关于行(列)向量的加法和数乘,我们验 证过有下列八条性质成立 an)|a∈K,1≤i≤n} 加法交换律:Ⅶa,B∈K,有a+β=β+a Q加法结合律:a,B,T∈K,有(a+B)+?=a+(B+); ●“零元”存在性:即存在0∈K,使得Ⅶa∈K,有0+a=a;

pê E￾ŒÆµÁ‘ ‚5m 1•þm†•þm ½Â (n ‘1£¤•þ)  K ´ê§a1 , . . . , an ´ K ¥ n ‡ê§K¡kSê| (a1 , . . . , an) ê  K þ n ‘1•þ§¡kSê|   a1 . . . an   ê K þ n ‘•þ" 3c¡Ù§·‚0L•þ\{§ê¦"·‚r•þ†k•‚ã £¥þ¤Óå5￾§·‚§•þ\{Ò´¥þ²1o>/¦ Ú§•þê¦Ò´¥þ "'u1£¤•þ\{Úꦧ·‚ yLkel^5Ÿ¤á" P K n = ￾a1 · · · an
| ai ∈ K§1 ≤ i ≤ n " 1 \{†Æµ∀α, β ∈ K n§k α + β = β + α¶ 2 \{(ÜƵ∀α, β, γ ∈ K n§k (α + β) + γ = α + (β + γ)¶ 3 “"”35µ=3 0 ∈ K n§¦ ∀α ∈ K n§k 0 + α = α¶

性空闻 定义(m维行(列)向量) 设K是数域,a1,…,an是K中的n个数,则称有序数组(a1…,an)为数 域K上的n维行向量,称有序数组 为数域K上的n维列向量。 在前面一章,我们介绍过列向量的加法,数乘。当我们把列向量与有向线段 (矢量)等同起来后,我们也知道,列向量的加法就是矢量的平行四边形求 和,列向量的数乘就是矢量的放缩。关于行(列)向量的加法和数乘,我们验 证过有下列八条性质成立 an)|a∈K,1≤i≤n} Q加法交换律:a,B∈K,有a+β=B+a e加法结合律:Va,B,T∈K,有(a+B)+?=a+(B+7); ◎“零元”存在性:即存在0∈K,使得Ⅶa∈K,有0+a=; Q“负元”存在性:即Ⅵa∈K,存在β∈K,使得a+B=0

pê E￾ŒÆµÁ‘ ‚5m 1•þm†•þm ½Â (n ‘1£¤•þ)  K ´ê§a1 , . . . , an ´ K ¥ n ‡ê§K¡kSê| (a1 , . . . , an) ê  K þ n ‘1•þ§¡kSê|   a1 . . . an   ê K þ n ‘•þ" 3c¡Ù§·‚0L•þ\{§ê¦"·‚r•þ†k•‚ã £¥þ¤Óå5￾§·‚§•þ\{Ò´¥þ²1o>/¦ Ú§•þê¦Ò´¥þ "'u1£¤•þ\{Úꦧ·‚ yLkel^5Ÿ¤á" P K n = ￾a1 · · · an
| ai ∈ K§1 ≤ i ≤ n " 1 \{†Æµ∀α, β ∈ K n§k α + β = β + α¶ 2 \{(ÜƵ∀α, β, γ ∈ K n§k (α + β) + γ = α + (β + γ)¶ 3 “"”35µ=3 0 ∈ K n§¦ ∀α ∈ K n§k 0 + α = α¶ 4 “K”35µ= ∀α ∈ K n§3 β ∈ K n§¦ α + β = 0¶

性空闻 定义(m维行(列)向量) 设K是数域,a1,…,an是K中的n个数,则称有序数组(a1…,an)为数 域K上的n维行向量,称有序数组 为数域K上的n维列向量。 在前面一章,我们介绍过列向量的加法,数乘。当我们把列向量与有向线段 (矢量)等同起来后,我们也知道,列向量的加法就是矢量的平行四边形求 和,列向量的数乘就是矢量的放缩。关于行(列)向量的加法和数乘,我们验 证过有下列八条性质成立 an)|a∈K,1≤i≤n} Q加法交换律:a,B∈K,有a+β=B+a e加法结合律:Va,B,T∈K,有(a+B)+?=a+(B+7); ◎“零元”存在性:即存在0∈K,使得Ⅶa∈K,有0+a=; ●“负元”存在性:即ⅶa∈K,存在β∈和,使得a+β=0 左分配律:A,∈K,Wa∈K,有(A+p)=Ma+ua;

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| ai ∈ K§1 ≤ i ≤ n " 1 \{†Æµ∀α, β ∈ K n§k α + β = β + α¶ 2 \{(ÜƵ∀α, β, γ ∈ K n§k (α + β) + γ = α + (β + γ)¶ 3 “"”35µ=3 0 ∈ K n§¦ ∀α ∈ K n§k 0 + α = α¶ 4 “K”35µ= ∀α ∈ K n§3 β ∈ K n§¦ α + β = 0¶ 5 †©Ƶ∀λ, µ ∈ K§∀α ∈ K n§k (λ + µ)α = λα + µα¶

性空闻 定义(m维行(列)向量) 设K是数域,a1,…,an是K中的n个数,则称有序数组(a1…,an)为数 域K上的n维行向量,称有序数组 为数域K上的n维列向量。 在前面一章,我们介绍过列向量的加法,数乘。当我们把列向量与有向线段 (矢量)等同起来后,我们也知道,列向量的加法就是矢量的平行四边形求 和,列向量的数乘就是矢量的放缩。关于行(列)向量的加法和数乘,我们验 证过有下列八条性质成立 an)|a∈K,1≤i≤n} Q加法交换律:a,B∈K,有a+β=B+a e加法结合律:Va,B,T∈K,有(a+B)+?=a+(B+7); ◎“零元”存在性:即存在0∈K,使得Ⅶa∈K,有0+a=; ●“负元”存在性:即ⅶa∈K,存在β∈和,使得a+β=0 左分配律:Vλ,H∈K,a∈K,有(λ+p)a=Aa+ua; 右分配律:VA∈K,Wa,B∈K,都有A(a+B)=Aa+AB

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| ai ∈ K§1 ≤ i ≤ n " 1 \{†Æµ∀α, β ∈ K n§k α + β = β + α¶ 2 \{(ÜƵ∀α, β, γ ∈ K n§k (α + β) + γ = α + (β + γ)¶ 3 “"”35µ=3 0 ∈ K n§¦ ∀α ∈ K n§k 0 + α = α¶ 4 “K”35µ= ∀α ∈ K n§3 β ∈ K n§¦ α + β = 0¶ 5 †©Ƶ∀λ, µ ∈ K§∀α ∈ K n§k (λ + µ)α = λα + µα¶ 6 m©Ƶ∀λ ∈ K§∀α, β ∈ K n§Ñk λ(α + β) = λα + λβ¶

性空闻 定义(m维行(列)向量) 设K是数域,a1,…,an是K中的n个数,则称有序数组(a1…,an)为数 域K上的n维行向量,称有序数组 为数域K上的n维列向量。 在前面一章,我们介绍过列向量的加法,数乘。当我们把列向量与有向线段 (矢量)等同起来后,我们也知道,列向量的加法就是矢量的平行四边形求 和,列向量的数乘就是矢量的放缩。关于行(列)向量的加法和数乘,我们验 证过有下列八条性质成立 an)|a∈K,1≤i≤n} Q加法交换律:a,B∈K,有a+β=B+a e加法结合律:Va,B,T∈K,有(a+B)+?=a+(B+7); ◎“零元”存在性:即存在0∈K,使得Ⅶa∈K,有0+a=; ●“负元”存在性:即ⅶa∈K,存在β∈和,使得a+β=0 左分配律:VλH∈K,Wa∈K",有(λ+p)a=Aa+Ha; 右分配律:VA∈K,wa,B∈阳,都有A(a+β)=Aa+AB Q数乘结合律:VAH∈K,a∈和,都有(A)a=A(a)=p(Aa);

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| ai ∈ K§1 ≤ i ≤ n " 1 \{†Æµ∀α, β ∈ K n§k α + β = β + α¶ 2 \{(ÜƵ∀α, β, γ ∈ K n§k (α + β) + γ = α + (β + γ)¶ 3 “"”35µ=3 0 ∈ K n§¦ ∀α ∈ K n§k 0 + α = α¶ 4 “K”35µ= ∀α ∈ K n§3 β ∈ K n§¦ α + β = 0¶ 5 †©Ƶ∀λ, µ ∈ K§∀α ∈ K n§k (λ + µ)α = λα + µα¶ 6 m©Ƶ∀λ ∈ K§∀α, β ∈ K n§Ñk λ(α + β) = λα + λβ¶ 7 ê¦(ÜƵ∀λ, µ ∈ K§∀α ∈ K n§Ñk (λµ)α = λ(µα) = µ(λα)¶

性空闻 定义(m维行(列)向量) 设K是数域,a1,…,an是K中的n个数,则称有序数组(a1…,an)为数 域K上的n维行向量,称有序数组 为数域K上的n维列向量。 在前面一章,我们介绍过列向量的加法,数乘。当我们把列向量与有向线段 (矢量)等同起来后,我们也知道,列向量的加法就是矢量的平行四边形求 和,列向量的数乘就是矢量的放缩。关于行(列)向量的加法和数乘,我们验 证过有下列八条性质成立 an)|a∈K,1≤i≤n} Q加法交换律:a,B∈K,有a+β=B+a e加法结合律:Va,B,T∈K,有(a+B)+?=a+(B+7); ◎“零元”存在性:即存在0∈K,使得Ⅶa∈K,有0+a=; ●“负元”存在性:即ⅶa∈K,存在β∈和,使得a+β=0 左分配律:VλH∈K,Wa∈K",有(λ+p)a=Aa+Ha; 右分配律:VA∈K,wa,B∈阳,都有A(a+β)=Aa+AB 数乘结合律:VA,H∈K,Va∈K,都有(A)=A(a)=H(Aax); 幺等律:Va∈K,1a=a

pê E￾ŒÆµÁ‘ ‚5m 1•þm†•þm ½Â (n ‘1£¤•þ)  K ´ê§a1 , . . . , an ´ K ¥ n ‡ê§K¡kSê| (a1 , . . . , an) ê  K þ n ‘1•þ§¡kSê|   a1 . . . an   ê K þ n ‘•þ" 3c¡Ù§·‚0L•þ\{§ê¦"·‚r•þ†k•‚ã £¥þ¤Óå5￾§·‚§•þ\{Ò´¥þ²1o>/¦ Ú§•þê¦Ò´¥þ "'u1£¤•þ\{Úꦧ·‚ yLkel^5Ÿ¤á" P K n = ￾a1 · · · an
| ai ∈ K§1 ≤ i ≤ n " 1 \{†Æµ∀α, β ∈ K n§k α + β = β + α¶ 2 \{(ÜƵ∀α, β, γ ∈ K n§k (α + β) + γ = α + (β + γ)¶ 3 “"”35µ=3 0 ∈ K n§¦ ∀α ∈ K n§k 0 + α = α¶ 4 “K”35µ= ∀α ∈ K n§3 β ∈ K n§¦ α + β = 0¶ 5 †©Ƶ∀λ, µ ∈ K§∀α ∈ K n§k (λ + µ)α = λα + µα¶ 6 m©Ƶ∀λ ∈ K§∀α, β ∈ K n§Ñk λ(α + β) = λα + λβ¶ 7 ê¦(ÜƵ∀λ, µ ∈ K§∀α ∈ K n§Ñk (λµ)α = λ(µα) = µ(λα)¶ 8 NƵ∀α ∈ K n§1α = α"