复旦大学：《数学分析》教案讲稿_无限小增量公式的基本理论与应用理论

教案:无限小增量公式的基本理论与应用理论 教案:无限小增量公式的基本理论与应用理论 课程:《数学分析(I)》(一年制,面对力学类等) 1.知识点(教学内容及其目标概述) 本知识点:无限小增量公式基本理论与应用理论。主要内容分为:①基本理论,基于 Cauchy 中值定理获得无限小增量公式,先获得朴素形式,再通过引入辅助函数以获得一般形式。② 基于无限小增量公式本身(多项式逼近的唯一性),获得“逐项求导”、“逐项求积”两个技术 性引理,结合复合函数极限定理以及 Landau分析,由此形成应用理论。 2.知识要素(教学内容细致目录) 本知识点,包括如下知识要素: 无限小增量公式的朴素形式 基于 Cauchy中值定理获得 朴素形式 f(x)在x点具有直至p阶导数;且有f(x0)=…=f((x0)=0, 则有:f(x)=/(x)+0(x-x) 分析 分析策略:基于 Cauchy中值定理,推导朴素形式。 逐次利用 Cauchy中值定理可得 (x)-/(x)f(xr()_1(x)21(5) x-x p1(5-x)P(x=x)2P(P-)(5-x) (P-1) P(P-1 pup P-(P-1) (x-x0 般基于 L Hospital法则的推导较多,本处特地设计了基于 Cauchy中值定理的推导,因为带 Lagrange余项的有隈增量 公式基于 Cauchy中值定理推导,故我们希望基于相同的中值定理“统一”获得无限小增量公式和有限增量公式,希望有助 于“正本清源” ↑对于 Cauchy中值定理,要求:分子及分母处的函数在闭区间上连续,在内部可导,且分母处的导函数在非零 第1页共7页

教案：无限小增量公式的基本理论与应用理论 第 1 页 共 7 页 教案：无限小增量公式的基本理论与应用理论 课程：《数学分析（Ⅰ）》（一年制，面对力学类等） 1. 知识点（教学内容及其目标概述） 本知识点：无限小增量公式基本理论与应用理论。主要内容分为：①基本理论，基于 Cauchy 中值定理获得无限小增量公式，先获得朴素形式，再通过引入辅助函数以获得一般形式。② 基于无限小增量公式本身（多项式逼近的唯一性），获得“逐项求导”、“逐项求积”两个技术 性引理，结合复合函数极限定理以及 Landau 分析，由此形成应用理论。 2. 知识要素（教学内容细致目录） 本知识点，包括如下知识要素： ① 无限小增量公式的朴素形式 —— 基于 Cauchy 中值定理获得* 朴素形式： f   x 在 0 x 点具有直至 p 阶导数；且有         1 0 0 0 p fx f x     ， 则有：      0 0   p fx fx o x x   分析： 分析策略：基于 Cauchy 中值定理，推导朴素形式。 逐次利用 Cauchy 中值定理† 可得： 0 x  p1  2  1 x 0 x  p1  2  1 x                                                  1 0 0 1 0 0 2 0 2 0 1 (1) 2 01 2 1 2 1 0 10 20 0 0 2 1 1 1 1 1 2 1 0 0 1 0 1 1 : : 1 1 11 : 1 12 ! x x x p xp p p p x x p p x p p p p p p p x f x f x fx fx f f xx p x x p pp xx xx f x f f pp pp p x x x x                                                 * 一般基于 L‘ Hospital 法则的推导较多。本处特地设计了基于 Cauchy 中值定理的推导，因为带 Lagrange 余项的有限增量 公式基于 Cauchy 中值定理推导，故我们希望基于相同的中值定理“统一”获得无限小增量公式和有限增量公式，希望有助 于“正本清源”。 † 对于 Cauchy 中值定理，要求：分子及分母处的函数在闭区间上连续，在内部可导，且分母处的导函数在非零

教案:无限小增量公式的基本理论与应用理论 当x在x点右侧或左侧时,5,…,5Pp1c(x2x)或5…5∈(x,x)的分布特征,如上图所示 按 Heine叙述,考虑极限 lim f(x-f(zo)- lim/(x,)-f(xo x→x∈R (x-xo (x1-x)y,此处而≠x→高 结合上述基于 Cauchy中值定理获得的结构,有 f(rm-f(xo1 此处,x()为[xx]或者[x,x]之间利用p-1次 Cauchy中值定理所确定的值,满足 x,(5=)=(x,x)或x,(5m)∈(x,x)。易见,按点列极限夹逼性,有:x≠x(5)→x 已知3f(x)=0,故按函数极限的 Heine叙述,我们有 (x)-f(x)1/m(x(5=-)-/(x) (x)=0 至此,获得朴素形式。 ②无限小增量公式的一般形式 有朴素形式获得一般形式,可以通过引入如下辅助函数: p(x): =f(x)-If(xo) Mo x-x k 满足q(x)=0,q(x)=…=((x)=0。对其利用朴素形式,即得一般形式无限小增 量公式:∫(x)在x点具有直至p阶导数,则有: 无限小增量公式的几何意义为局部可以p阶多项式逼近,误差为p阶无穷小量。值得指 出,无限小增量公式并未给出误差的实际估计方法,其本身也是在极限意义下成立的。这点 本质区别于有限增量公式 ③多项式逼近的唯一性 多项式逼近唯一性的数学刻画: 第2页共7页

教案：无限小增量公式的基本理论与应用理论 第 2 页 共 7 页 当 x 在 0 x 点右侧或左侧时，  1 10 ,, ,  p   x x或  110 ,, ,  p   x x 的分布特征，如上图所示。 按 Heine 叙述，考虑极限：            0 0 0 0 0 lim lim n p p xx n n f x fx fx fx xx x x          ，此处 0 0 n x  x x  结合上述基于 Cauchy 中值定理获得的结构，有：                       1 11 1 10 0 0 10 10 1 1 ! ! p pp np np n p n np np fx fx f x fx fx x x p p xx xx                  此处， n p   1 x   为 x0 , xn 或者 xn , x0 之间利用 p 1次 Cauchy 中值定理所确定的值，满足   1 0   , np n x  x x   或   1 0   , np n x  x x   。易见，按点列极限夹逼性，有： x0 10 x x n p       。 已知     0 0 p   f x ，故按函数极限的 Heine 叙述，我们有：                    1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 ! ! p p n p n p p n n p fx fx fx fx f x x x p p x x              至此，获得朴素形式。 ② 无限小增量公式的一般形式 有朴素形式获得一般形式，可以通过引入如下辅助函数：           0 0 0 1 : ! k p k k f x x fx fx x x k              ， 满足   0  x  0，         1 0 0 0 p   x x    。对其利用朴素形式，即得一般形式无限小增 量公式： f   x 在 0 x 点具有直至 p 阶导数，则有：            0 0 00 1 ! k p k p k f x fx fx x x o x x  k             无限小增量公式的几何意义为局部可以 p 阶多项式逼近，误差为 p 阶无穷小量。值得指 出，无限小增量公式并未给出误差的实际估计方法，其本身也是在极限意义下成立的。这点 本质区别于有限增量公式。 ③ 多项式逼近的唯一性 多项式逼近唯一性的数学刻画：

教案:无限小增量公式的基本理论与应用理论 4+上4(x-x)+0(x-x) 如有∫( ,则有:A=B,41=B(k=1…,p)。 AB+∑B(x-x)2+0(x-x) 将两个表达式相减,即得:(4-B)+(4-B)(x=x)=(x-y) 两边取极限即得:A=B。故有 ∑(4-B)(x-x)=(x-x)→(4-B)+(4-B)(x-x)=0(x-x)y) 两边取极限即得:A4=B。依次进行,即得结论 ④技术性引理:“逐项求导”一一源于多项式逼近的唯一性 已知/()的多项式逼近:(x)=4+应4(x-x)+(x-x) 则有可(x)的多项式逼近: -(x)=A )14(a(-xy) A+4,k(x=x)2+0(x-x)y) 分析 已有:f()=4+4(x=x)+0(x-)则有如下事实 .f(x)在x点具有直至P阶导数,由此()在x点具有直至P-1阶导数 2.按多项式通近的唯一性,有:4=(x),4=()(=1…,P) 考虑(x)的无限小增量公式 df ka-+(x)(x-x)+0(x-x 对此系数,即得结论。 ③技术性引理:“逐项求积”一一源于多项式逼近的唯一性 第3页共7页

教案：无限小增量公式的基本理论与应用理论 第 3 页 共 7 页 如有             0 00 1 0 00 1 p k p k k p k p k k A A xx oxx f x B B xx oxx                    ，则有： A B 0 0  ，   1, , Ak k   Bk p  。 分析： 将两个表达式相减，即得：       00 0 0   1 p k p k k k A B A B xx oxx         两边取极限即得： A B 0 0  。故有：                 1 1 0 0 11 0 0 1 2 p p kp k p k k k k k k A B xx oxx A B A B xx oxx                  两边取极限即得： A B 1 1  。依次进行，即得结论。 ④ 技术性引理：“逐项求导”——源于多项式逼近的唯一性 已知 f   x 的多项式逼近：      0 00   1 p k p k k fx A A x x o x x        ， 则有   df x dx 的多项式逼近：           0 00 1 1 1 00 2 1 p k p k p k k p k k dd d A A xx o xx dx dx dx df x dx A Ak x x o x x                            分析： 已有：      0 00   1 p k p k k fx A A x x o x x        ，则有如下事实： 1． f   x 在 0 x 点具有直至 p 阶导数，由此   df x dx 在 0 x 点具有直至 p 1阶导数。 2. 按多项式逼近的唯一性，有： A0 0  f x ，    0 1 1, , ! k k k d f A xk p k dx    考虑   df x dx 的无限小增量公式            1 1 1 0 00 0 1 1 1 ! p k k p k k df df d f x x x xx oxx dx dx k dx             对此系数，即得结论。 ⑤ 技术性引理：“逐项求积”——源于多项式逼近的唯一性

教案:无限小增量公式的基本理论与应用理论 已知()多项式逼近:f()=4+4(x-x)+0(x-x) 则有∫(x)d的多项式逼近 Sr()dx=(/(x)dx )()+ Adx+2 A (x-xo)dx +o((x-xo) dx) (f(x)dx)(x)+4·(x-x)+∑4 X-x k+ 此处∫/(x)本指关于x的函数,满足(/()(x)=(x) 已有:f(x)=4+∑4(x-x)+0(x-x),则有如下事实: f(x)在x点具有直至P阶导数,由此∫(x)d在x点具有直至P+1阶导数 2,按多项式通近的唯一性,有:4=f(),4=(x)(=1…P) 考虑∫f(x)的无限小增量公式 (/(x)dx)(x)=(s(x)dx)() ∑A(0()4)(x)(-x)+0(x-x)y tol(x-xo ki d 对此系数,即得结论 ⑥获得复杂函数多项式逼近的技术要素 ◇基本初等函数的多项式逼近。一般直接基于无限小增量公式 ◇复合映照极限定理 从简单走向复杂的一般理论 ◇“逐项求导”、“逐项求积”两个技术性引理。 ◇ Landau符号分析 “抓住主要矛盾,忽略次要矛盾”的切实实践。具体形式,诸如 1(2x+(x)=o(x):o(x)+0(x)=o(x)+0(x-)=(x):o(x)o(x)=o(x 均指x→0时。 第4页共7页

教案：无限小增量公式的基本理论与应用理论 第 4 页 共 7 页 已知 f   x 的多项式逼近：      0 00   1 p k p k k fx A A x x o x x        ， 则有 f   x dx  的多项式逼近：                           00 0 1 1 0 00 0 0 1 0 1 1 p k p p k k k p k k f x dx x x f x dx x A x x f x dx x A A dx A x x dx o x x dx oxx k                            此处 f   x dx  指关于 x 的函数，满足      d f x dx x f x dx   分析： 已有：      0 00   1 p k p k k fx A A x x o x x        ，则有如下事实： 1． f   x 在 0 x 点具有直至 p 阶导数，由此 f  x dx   在 0 x 点具有直至 p 1阶导数。 2. 按多项式逼近的唯一性，有： A0 0  f x ，    0 1 1, , ! k k k d f A xk p k dx    考虑 f   x dx  的无限小增量公式                                  0 1 1 00 0 1 1 1 1 0 00 0 1 1 1 ! 1 ! p k k p k k p k k p k k f x dx x f x dx x d f x dx x x x o x x k dx d f f x dx x x x x o x x k dx                           对此系数，即得结论。 ⑥ 获得复杂函数多项式逼近的技术要素  基本初等函数的多项式逼近。一般直接基于无限小增量公式。  复合映照极限定理。—— 从简单走向复杂的一般理论  “逐项求导”、“逐项求积”两个技术性引理。  Landau 符号分析。—— “抓住主要矛盾，忽略次要矛盾”的切实实践。具体形式，诸如:       pp p o x ox ox    ；           pp pp p 1 ox ox ox ox ox    ；     p q pq ox ox ox    均指 x  0 时

教案:无限小增量公式的基本理论与应用理论 证明:。0(2xP+o(x2)=(x 分析 首先明确o(x+0(x)的意思:关于x的一个函数,在B1(0)中有定义,满足 0(·xP+o(xP lim 0。然后,易得 Ax+o(x (x+0(x)2(x+()xx+2)0ax→0.即得证 应用事例 In cosx=In/1-n+o(r) 2+o(x2)-1. +o(x3) tO +o(x3) =-x+o(x2) 对第一次展开:利用基本初等函数展开:m(1+y)=y-2y+0(y),按极限表示,亦即 ln(1+ y)-1J 0.另有:lm-x+o(x)|=0,且-x+o(x)满足非接触性条件 +o(x (x3) o(x3) 2 故按复合函数极限定理,有:lim 0 即得第一次展开 第二次展开,则基于 Landau分析,涉及:o )=0+0(x)|=o(x)等 应用事例2 获得以下四个函数的多项式逼近,至精度o(x) tan(sinx 640 arcsin (arctan x) 13x arctan(arcsinx 在实际问题中,此结构十分常见 第5页共7页

教案：无限小增量公式的基本理论与应用理论 第 5 页 共 7 页 证明：       pp p o x ox ox    ‡ 分析： 首先明确     p p o x ox    的意思：关于 x 的一个函数，在 B   0  中有定义，满足：       0 lim 0 p p p p x x o x ox x ox         。然后，易得：             0 0 pp pp p p p p p p o x ox o x ox x ox as x x x x ox              。即得证。 应用事例 1： 2 2 22 2 2 33 3 3 2 3 1 ln cos ln 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 ( ) 2 xx x x x ox ox ox o ox x o x                                    对第一次展开：利用基本初等函数展开：     2 2 ln 1 2 y    y y oy ，按极限表示，亦即：   2 2 0 ln 1 2 lim 0 y y y y  y         。另有： 2 3 0 lim ( ) 0 x 2 x o x           ，且 2 3 ( ) 2 x   o x 满足非接触性条件。 故按复合函数极限定理，有： 2 22 2 33 3 2 0 3 1 ln 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 22 lim 0 ( ) 2 y xx x ox ox ox x o x                           ， 即得第一次展开。 第二次展开，则基于 Landau 分析，涉及：   2 2 4 3 54 ( ) 2 4 x x o ox o o x o x                    等。 应用事例 2： 获得以下四个函数的多项式逼近，至精度   5 o x ：       3 5 6 sin tan tan sin 6 40 x x x x o x x             3 5 6 sin arctan 13 arctan sin 6 120 arc x x x x o x arc x       ‡ 在实际问题中，此结构十分常见

教案:无限小增量公式的基本理论与应用理论 以研究 arcsin( arctan x)为例 考虑到: arcsinx= 由(1+ 基于复合函数极限定理,有:(1-x2)=1+x2+0·x+0(x); 基于“逐项求积”,有: arcsin x=x 考虑到:anx=(1+x2) 由(1+y)=1-y (-1)(-1-1) y2+o(y2)=1-y+y2+0(y2); 基于复合函数极限定理,有:(1+x)=1-x2+x+o(x); 基于“逐项求积,有: arctan=x-x2+5x2+o(x) 综上,已有: arcsinx=x+ x x +olx arctan x=x--·x+-·X+O 基于复合函数极限定理,有 arcsin(arctanx=x =x+ xtolx=x x +ox 5640 6120 应用事例3 计算极限:m2+3x-2-2x 对于此类问题,基于复合函数极限定理,可按如下一般处理方法 lim -=0 X→0 f(x)=1mf1|∈R t→0 imf∈R 第6页共7页

教案：无限小增量公式的基本理论与应用理论 第 6 页 共 7 页 以研究arc x sin arctan   为例： 考虑到：   1 2 2 arcsin 1 d x x dx    由      1 2 22 22 1 1 1 1 13 2 2 11 1 2 2! 2 8 y y y oy y y oy                         ； 基于复合函数极限定理，有：    1 2 2 2 44 1 3 1 1 2 8 x x x ox        ； 基于“逐项求积”，有：   1 3 3 55 arcsin 6 40 x     x x x ox 。 考虑到：   1 2 arctan 1 d x x dx    由        1 22 22 1 11 11 1 2! y y y oy y y oy            ； 基于复合函数极限定理，有：    1 2 24 4 1 1 x x x ox      ； 基于“逐项求积”，有：   1 1 3 55 arctan 3 5 x    x x x ox 。 综上，已有：   1 3 3 55 arcsin 6 40 x     x x x ox ；   1 1 3 55 arctan 3 5 x    x x x ox 基于复合函数极限定理，有：             3 5 35 35 35 55 5 5 3 5 5 3 55 3 1 3 arcsin arctan 3 5 6 3 5 40 3 5 3 5 1 1 1 1 3 1 13 3 6 5 6 40 6 120 xx xx xx x x ox x ox x ox x x o x ox x x x ox x x x                                                                          5 5  o x 应用事例 3： 计算极限： 33 2 lim 3 2 x x xx x        对于此类问题，基于复合函数极限定理，可按如下一般处理方法：   0 0 1 lim 0 1 lim lim 1 lim x x t t x fx f t f t                              

教案:无限小增量公式的基本理论与应用理论 对于上述极限,f(x)=x+3x-√x2-2x,故考虑极限 li lm|(+32)y-1(-2) 基于无限小分析,有 1+ →last→0 3.课时安排 本知识点,共计安排2课时 第1课时:①无限小增量公式的朴素形式;②无限小增量公式的一般形式;③多项式逼近的 唯一性 第2课时:④技术性引理:“逐项求导”;③技术性引理:“逐项求积”。⑥获得复杂函数多项 式逼近的技术要素。以及相关应用事例。 4.讲述特点及追求效果 ◇我们提供,基于 Cauchy中值定理,以统一的方式获得无限小增量公式以及有限增量公式, 技术上的差异仅是“最后一步”,前者利用极限而后者则继续使用下 Cauchy中值定理 ◆我们仅引入“无限小增量公式”的称法,而不用 Taylor展开, Peano展开以及麦克劳林 展开等称法,因为本质上就只有无限小增量公式一一局部意义下的多项式逼近。 ◇对于如何获得复杂函数的多项式逼近,我们整理了相关要素,主要基于复合函数极限定 理,“逐项求导”和“逐项求积”两个技术性引理以及 Landau符号分析。实践表明,上 述方法具有相当的适应性,且切实可行。一些数学竞赛上的极限问题都可以通过此方法 得以解决 5.教学方式 全程脱稿板书。 第7页共7页

教案：无限小增量公式的基本理论与应用理论 第 7 页 共 7 页 对于上述极限，   33 2 f x xxx x    3 2 ，故考虑极限：     1 3 1 2 2 3 3 2 00 0 1 1 11 1 1 1 lim lim 3 2 lim 1 3 1 2 tt t f tt   t t tt t t t                         基于无限小分析，有：               1 3 1 2 1 11 1 2 22 13 12 1 1 1 1 1 0 t t t ot t ot t tt t o as t               3. 课时安排 本知识点，共计安排 2 课时： 第 1 课时：①无限小增量公式的朴素形式；②无限小增量公式的一般形式；③多项式逼近的 唯一性。 第 2 课时：④技术性引理：“逐项求导”；⑤技术性引理：“逐项求积”。⑥获得复杂函数多项 式逼近的技术要素。以及相关应用事例。 4. 讲述特点及追求效果  我们提供，基于 Cauchy 中值定理，以统一的方式获得无限小增量公式以及有限增量公式， 技术上的差异仅是“最后一步”，前者利用极限而后者则继续使用下 Cauchy 中值定理。  我们仅引入“无限小增量公式”的称法，而不用 Taylor 展开，Peano 展开以及麦克劳林 展开等称法，因为本质上就只有无限小增量公式 —— 局部意义下的多项式逼近。  对于如何获得复杂函数的多项式逼近，我们整理了相关要素，主要基于复合函数极限定 理，“逐项求导”和“逐项求积”两个技术性引理以及 Landau 符号分析。实践表明，上 述方法具有相当的适应性，且切实可行。一些数学竞赛上的极限问题都可以通过此方法 得以解决。 5. 教学方式 全程脱稿板书