复旦大学：《高等代数》精品课程教学资源（课件讲稿）03 行列式（第一章）

二阶行列式 设有两个二元一次方程组成的方程组(设a1,a21两个数不全为零): a11x1+a1 b a21x1+a22x2=b2 按照《九章算术》上提供的求解方法:第二个方程乘a11,得到 a121x1+a122-a1b2, 再减去第一个方程的a21倍,则得到 a1a21x1+a1a222-a21(a1x1+a12x2)=(a1a22-a12a21)x2 1b2-a21b1

pê E￾ŒÆ£Á‘¤ 1ª 1ª 1ª kü‡g§|¤§|£ a11, a21 ü‡ê؏"¤µ { a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 § Uì5Êَâ6þJø¦){µ1‡§¦ a11§ a11a21x1 + a11a22x2 = a11b2§ 2~1‡§ a21 §K a11a21x1 + a11a22x2 − a21 (a11x1 + a12x2) = (a11a22 − a12a21) x2 = a11b2 − a21b1

二阶行列式 所以 22=a1b2-a21b1 当a1122-a12a21≠0时, a22-a12a2

p  ê E ￾ Œ Æ £ Á ‘  ¤ 1  ª 1  ª   1  ª ¤ ± ½ n  a11 a22 − a12 a21 ∕= 0 ž § ⎧⎨⎩ x 2 = a11 b 2 − a21 b 1 a11 a22 − a12 a21 x 1 = b 1 a22 − b 2 a12 a11 a22 − a12 a21 "

二阶行列式 前一页得到的方程为 (a1a22-a12a21)x2=a1b2-a21b1 当a1022-a12a21=0时, ●若a1b2-a21b1≠0则方程组无解; 若a1l2-a21b1=0时,第二个方程是第一个方程的倍式,所以方 程组有无穷组解!

pê E￾ŒÆ£Á‘¤ 1ª 1ª 1ª c§µ (a11a22 − a12a21) x2 = a11b2 − a21b1  a11a22 − a12a21 = 0 ž§ e a11b2 − a21b1 ∕= 0 K§|Ã)¶ e a11b2 − a21b1 = 0 ž§1‡§´1‡§ª§¤± §|ká|)œ

三阶行列式 通过从第二个方程中减去第一个方程的适当倍数, a1x1+a12x2=b1 a21x1+a2x2=b2 得到1012 a12对三元一次方程组 11x1+a12x2+a13x3=y a21x1+a22+a23x3=y2 a31x1+a32x2+a333=y3 当实施类似的处理时,也可得到 121a22 an a13x3 11y1 a21a23 a31々)x2+/a11a13 a11a12 a11y/1

pê E￾ŒÆ£Á‘¤ 1ª n1ª n1ª ÏLl1‡§¥~1‡§·ê§ { a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 §      a11 a12 a21 a22     x2 =     a11 b1 a21 b2     ¶éng§| ⎧ ⎨ ⎩ a11x1 + a12x2 + a13x3 = y1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = y2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = y3 § ¢aq?nž§Œ ⎧ ⎨ ⎩     a11 a12 a21 a22     x2 +     a11 a13 a21 a23     x3 =     a11 y1 a21 y2         a11 a12 a31 a32     x2 +     a11 a13 a31 a33     x3 =     a11 y1 a31 y3    

三阶行列式 再利用前面得到的二元一次方程组的解,得到 a11a12 a11a13 a11a12 a21a2 a23 a11a12 a11a12 a31a32 31a3 a31a32 131y 从而得到 y21a32-y231-y2112+y21231+ay32-y32/)x3 (a1a23-a1a232-a12a21a3+a1a31423+a211332-a13a2 所以,定义 a11a12a13 a21a22a23 a11422133-a11a2a32-a12a21433+a12a31a23 +a21a13a32-a13a2a31

pê E￾ŒÆ£Á‘¤ 1ª n1ª n1ª 2|^c¡g§|)§               a11 a12 a21 a22         a11 a13 a21 a23         a11 a12 a31 a32         a11 a13 a31 a33               x3 =               a11 a12 a21 a22         a11 y1 a21 y2         a11 a12 a31 a32         a11 y1 a31 y3               l  (a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a31a23 + a21a13a32 − a13a22a31) x3 = (y1a21a32 − y1a22a31 − y2a11a32 + y2a12a31 + a11y3a22 − y3a12a21) ¤±§½Â       a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33       = a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a31a23 + a21a13a32 − a13a22a31

三阶行列式 a a12a13 a22a23=a1123-a12332-a12a21033+a1231423 +a21a13a32-a13a2231 为三阶行列式( determinant) 它和二阶行列式在定义概念时的情形基本上一致,即能决定方程 a11x1+a12x2+a13x3=y a21x1+a222+a23x3=y是不是对任意的yy,3都有唯 a31x1+a32x2+a3x3=y3 三阶行列式还可由如下步骤来产生(从二元一次方程的消元得到) 对{吗1x1+a2=b1 21x1+a2=b2消=时2 a 11 21a22

pê E￾ŒÆ£Á‘¤ 1ª n1ª n1ª ¡       a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33       = a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a31a23 + a21a13a32 − a13a22a31 n1ª£determinant¤" §Ú1ª3½ÂVgžœ/Äþ§=Uû½§ | ⎧ ⎨ ⎩ a11x1 + a12x2 + a13x3 = y1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = y2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = y3 ´Ø´é?¿ y1, y2, y3 Ñk )¶ n1ª„ŒdXeÚ½5)£lg§ž¤µ é { a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 ž x1§⇒     a11 a12 a21 a22     x2 =     a11 b1 a21 b2    

a21x+a22=b2元x,=a1a12 a11b1 21a22 21b2 a1x31+a12x2+a13x3=b1 得 a11a12 a11b1 第一、三消 得 031a2/x2+/a1a13 b1 (2) ◎第二、三消 得 b2 32 a31a3/33 (1)×a3-(2)×a23+(3)×a13→ a11a12a1 b a11b1 b2 31a32a33 31b3

pê E￾ŒÆ£Á‘¤ 1ª n1ª é { a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 ž x1§⇒     a11 a12 a21 a22     x2 =     a11 b1 a21 b2     ¤± ⎧ ⎨ ⎩ a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 1 1!ž      a11 a12 a21 a22     x2 +     a11 a13 a21 a23     x3 =     a11 b1 a21 b2     (1) 2 1!nž      a11 a12 a31 a32     x2 +     a11 a13 a31 a33     x3 =     a11 b1 a31 b3     (2) 3 1!nž      a21 a22 a31 a32     x2 +     a21 a23 a31 a33     x3 =     a21 b2 a31 b3     (3) (1) × a33 − (2) × a23 + (3) × a13 ⇒       a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33       x2 = a33     a11 b1 a21 b2    −a23     a11 b1 a31 b3     +a13     a21 b2 a31 b3    

三阶行列式 这样x2前面的系数 a11a12a13 a21a22a23=aa11a12 a21a22 a21a22 a23/ I a31 a32 a31a32a33 a31a32 同理,(1)×a32-(2)×a22+(3)×a12→ a11a12a1 b1 a21a22a23x3=-a32 21 b2 31b3 a12a31 b3 a31a32a33 这又意味着 a11a12a13 a31a32a33 -a32|a1a23+a/1a13-a12a31a33 a11a13

pê E￾ŒÆ£Á‘¤ 1ª n1ª n1ª ù x2 c¡Xê       a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33       = a33     a11 a12 a21 a22     −a23     a11 a12 a31 a32     +a13     a21 a22 a31 a32     Ón§(1) × a32 − (2) × a22 + (3) × a12 ⇒ −       a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33       x3 = −a32     a11 b1 a21 b2     +a22     a11 b1 a31 b3    −a12     a21 b2 a31 b3     ùq¿›X       a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33       = −a32     a11 a13 a21 a23     +a22     a11 a13 a31 a33    −a12     a21 a23 a31 a33    

三阶行列式 a11a12a13 a21a22a23=a1 a22a2 n12a13 a12a13 a22a23 a31a32a33 及 a11a12a13 a21a22a23 a112033-a11a2332-a12a2133+a12a31a23 31a32 +a21a13a32-a13

pê E￾ŒÆ£Á‘¤ 1ª n1ª n1ª       a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33       = a11     a22 a23 a32 a33     −a21     a12 a13 a32 a33     +a31     a12 a13 a22 a23     9       a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33       = a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a31a23 + a21a13a32 − a13a22a31

受此启发,定义一般的n阶行列式的概念如下 递推定义:设Ⅱ-1阶行列式已被定义,则定义 a11a12 aln a21a22 =∑an(-1)+1Mn an1 an2 其中M为矩阵(a)nxn划去第k行与第l列后剩下的元素按原来的 相对位置排成的n-1阶行列式,称M为ak的余子式。(每个都 是n-1阶行列式)。 为方便计,将余子式连同符号写在一起,称A=(-1)M称 为的代数余子式。 可用归纳法证明,一个n阶行列式中有n!项的代数(表示有正有负) 和,每一项是不在同行,不在同列的n个数之积

pê E￾ŒÆ£Á‘¤ 1ª n 1ªVg Édéu§½Â„ n 1ªVgXeµ 4í½Âµ n − 1 1ª®½Â§K½Â          a11 a12 ⋅ ⋅ ⋅ a1n a21 a22 ⋅ ⋅ ⋅ a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 ⋅ ⋅ ⋅ ann          = n ∑ i=1 ai1 (−1) i+1 Mi1 Ù¥ Mkl Ý ( aij) n×n y1 k 1†1 l ￾eƒU5 ƒé ü¤ n − 1 1ª§¡ Mkl  akl {fª"£z‡Ñ ´ n − 1 1ª¤" BO§ò{fªëÓÎÒ3姡 Aij = (−1) i+jMij ¡  aij ê{fª" Œ^8B{y²§‡ n 1ª¥k n! ‘ê£L«kkK¤ Ú§z‘´Ø3Ó1§Ø3Ó n ‡êƒÈ"